As curvas de nível
da função
, dada por
são parábolas com concavidade voltada para cima para todo
.
CERTO
ERRADO
CERTO
ERRADO
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = y - x^2 $ e queremos analisar as suas curvas de nível, que são as curvas onde $ f(x, y) = k $, sendo $ k $ um número real qualquer. O objetivo é verificar se todas essas curvas de nível são parábolas com a concavidade voltada para cima, ou seja, abertas para cima, para qualquer valor de $ k $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Para uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, uma curva de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação $ f(x, y) = k $. Isso significa que, para cada valor de $ k $, temos uma curva diferente.
Passo 3
Vamos encontrar a equação das curvas de nível para a função dada. Temos:
Para encontrar a relação entre $ y $ e $ x $, vamos isolar o $ y $:
Isso mostra que, para cada valor de $ k $, a curva de nível é dada por $ y = x^2 + k $.
Passo 4
Agora, vamos analisar a forma dessa equação. A equação $ y = x^2 + k $ representa uma parábola, porque é da forma $ y = ax^2 + bx + c $, que é a equação geral de uma parábola. No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = 0 $ e $ c = k $.
Passo 5
A concavidade de uma parábola é determinada pelo sinal do coeficiente $ a $. Se $ a > 0 $, a concavidade está voltada para cima, e se $ a < 0 $, está voltada para baixo. No nosso caso, $ a = 1 $, que é positivo, então todas as parábolas $ y = x^2 + k $ têm concavidade voltada para cima, independentemente do valor de $ k $.
Resposta
CERTO