Avaliaçāo 1^a Unidade - (2020.1)
Instruçöes:
  1. A interpretação faz parte da avaliação;
  2. O tempo de resoluçâo e entrega da prova é de 02 horas e 10 min ;
  3. Todas as questöes devem possuir respostas justificadas;
  4. Utilize caneta preta ou azul;
  5. Soluçâo ilegivel será considerada como errada;
    Determine, se possível, uma função potencial para:
F(x, y, z)=(y z+cos x) i+(x z-sen y) j+x y k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se possível, uma função escalar phi(x,y,z) tal que nablaphi = F, onde o conteúdo principal é teoria de campos conservativos (potenciais) em R^3. Vamos precisar checar se o campo é conservativo (curl nulo) e depois integrar.

Passo 2

Para verificar se F=(P,Q,R) é conservativo, calculamos as derivadas parciais cruzadas:
partial Ppartial y=partialpartial y(yz+cos x)=z, partial Qpartial x=partialpartial x(xz-sin y)=z
partial Ppartial z=y, partial Rpartial x=partialpartial x(xy)=y
partial Qpartial z=x, partial Rpartial y=x
Como todas as igualdades batem, nablatimes F=0 em R^3, logo F é conservativo.

Passo 3

Sabendo que existe potencial, escrevemos
partial phipartial x=P=yz+cos x
Integrando em x:
phi(x,y,z)=integral(yz+cos x),dx=xyz+sin x+h(y,z),
onde h(y,z) é uma função ainda indefinida.

Passo 4

Agora diferenciamos essa phi em relação a y e igualamos a Q:
partial phipartial y=xz+partial hpartial ystackrel!=xz-sin y
Logo
partial hpartial y=-sin yimplies h(y,z)=integral(-sin y),dy=cos y+g(z),
com g(z) função de z isolada.

Passo 5

Finalmente, substituímos em phi e usamos phiz=R=xy:
phi(x,y,z)=xyz+sin x+cos y+g(z),
partial phipartial z=xy+g'(z)=xyimplies g'(z)=0implies g(z)=C (constante)
Portanto, deixamos a constante geral C na expressão.
Concluímos que a função potencial é dada, a menos de constante aditiva, por:

Resposta

phi(x,y,z)=xyz+sin x+cos y+C

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