Avaliaçāo 1^a Unidade - (2020.1)
Instruçöes:
  1. A interpretação faz parte da avaliação;
  2. O tempo de resoluçâo e entrega da prova é de 02 horas e 10 min ;
  3. Todas as questöes devem possuir respostas justificadas;
  4. Utilize caneta preta ou azul;
  5. Soluçâo ilegivel será considerada como errada;
    Suponha que o potencial numa lâmina plana é dado por:
V(x, y)=80-20 x e^-x^4+y20 em vo
qual é a taxa máxima do variação do potencial no ponto (1, 2)?

Passo 1

A questão dá o potencial numa lâmina como
V(x,y)=80-20x e^-x^4+y20
e pede a taxa máxima de variação em (1,2). O conteúdo envolve derivadas parciais e gradiente, pois a direção de máxima variação é na direção de ∇V e seu módulo dá essa taxa.

Passo 2

Definimos
g(x,y)=x^4+y20,
assim
V(x,y)=80-20,x e^-g(x,y)
Usando regra do produto e da cadeia, obtemos as derivadas parciais:
partial Vpartial x=-20,e^-g(x,y)l(1-x^45r),
partial Vpartial y=x e^-g(x,y)

Passo 3

No ponto (1,2) temos
g(1,2)=1^4+220=320,
e então
partial Vpartial x(1,2)=-20 e^-3/20l(1-15r)=-16 e^-3/20,
partial Vpartial y(1,2)=1cdot e^-3/20=e^-3/20

Passo 4

A taxa máxima de variação é o módulo do gradiente em (1,2):
l|nabla V(1,2)r|=raiz(-16 e^-3/20)^2+(e^-3/20)^2=e^-3/20raiz257

Resposta

e^-3/20raiz257,V/cm

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