Use o resultado do item a) e obtenha uma representação em série de potências para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função $ \frac{1}{(1 - 2x)^2} $. Isso envolve usar séries que a gente já conhece e aplicar uns truques de cálculo pra chegar lá.
Passo 2
No item a), provavelmente a gente encontrou a série para $ \frac{1}{1 - 2x} $. Sabemos que essa é uma série geométrica, que pode ser escrita como:
Essa série vale para $ |2x| < 1 $, ou seja, $ |x| < \frac{1}{2} $.
Passo 3
Agora, para achar a série de $ \frac{1}{(1 - 2x)^2} $, vamos usar o fato de que derivando $ \frac{1}{1 - 2x} $ em relação a $ x $ a gente consegue $ \frac{2}{(1 - 2x)^2} $. Ou seja:
Passo 4
Vamos derivar a série que encontramos no Passo 2 term por term:
Derivando cada termo:
Passo 5
Agora, igualando as duas expressões de derivada:
Vamos ajustar os índices pra facilitar. Vamos fazer $ m = n - 1 $, então $ n = m + 1 $:
Como $ m = -1 $ não faz sentido na soma, começamos de $ m = 0 $:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 2 para isolar $ \frac{1}{(1 - 2x)^2} $:
Resposta
Então, a representação em série de potências para $ \frac{1}{(1 - 2x)^2} $ é:
Essa série vale para $ |x| < \frac{1}{2} $.