Use o resultado do item a) e obtenha uma representação em série de potências para 1(1-2 x)^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função $ \frac{1}{(1 - 2x)^2} $. Isso envolve usar séries que a gente já conhece e aplicar uns truques de cálculo pra chegar lá.

Passo 2

No item a), provavelmente a gente encontrou a série para $ \frac{1}{1 - 2x} $. Sabemos que essa é uma série geométrica, que pode ser escrita como:
11 - 2x
Essa série vale para $ |2x| < 1 $, ou seja, $ |x| < \frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora, para achar a série de $ \frac{1}{(1 - 2x)^2} $, vamos usar o fato de que derivando $ \frac{1}{1 - 2x} $ em relação a $ x $ a gente consegue $ \frac{2}{(1 - 2x)^2} $. Ou seja:
1(1 - 2x)^2

Passo 4

Vamos derivar a série que encontramos no Passo 2 term por term:
ddx ( sumn=0^infty (2x)^n ) = sumn=0^infty ddx (2x)^n
Derivando cada termo:
sumn=0^infty n cdot 2^n x^n-1

Passo 5

Agora, igualando as duas expressões de derivada:
2(1 - 2x)^2 = sumn=0^infty n cdot 2^n x^n-1
Vamos ajustar os índices pra facilitar. Vamos fazer $ m = n - 1 $, então $ n = m + 1 $:
m = n - 1
Como $ m = -1 $ não faz sentido na soma, começamos de $ m = 0 $:
n = m + 1

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2 para isolar $ \frac{1}{(1 - 2x)^2} $:
1(1 - 2x)^2

Resposta

Então, a representação em série de potências para $ \frac{1}{(1 - 2x)^2} $ é:
1(1 - 2x)^2
Essa série vale para $ |x| < \frac{1}{2} $.

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