[ 2,0 ] Avaliar a convergência das séries cujos termos gerais são
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a convergência da série de termo geral
O que vamos usar:
– A expansão em série de Taylor de para
pequeno,
– Critério de comparação com séries -séries,
– E o fato de que a soma telescópica de dá
,
– Bem como a aproximação assintótica do número harmônico .
– A expansão em série de Taylor de
– Critério de comparação com séries
– E o fato de que a soma telescópica de
– Bem como a aproximação assintótica do número harmônico
Passo 2
Para grandes
usamos
Logo
Como
gera uma série convergente (
), pelo critério de comparação a série
converge absolutamente.
Passo 3
Calculemos a soma parcial
Observando a soma telescópica,
temos
onde
.
Passo 4
Sabendo que
então
Como
, segue que
Resposta
A série converge (de fato, converge absolutamente) e seu somatório é o número de Euler–Mascheroni
.