[ 2,0 ] Avaliar a convergência das séries cujos termos gerais são
ak=1k-ln k+1k

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a convergência da série de termo geral
ak = 1k ;-;ln!gl(k+1kgr)
O que vamos usar:
– A expansão em série de Taylor de ln(1+x) para x pequeno,
– Critério de comparação com séries p-séries,
– E o fato de que a soma telescópica de lnk+1k ln(n+1),
– Bem como a aproximação assintótica do número harmônico Hn.

Passo 2

Para grandes k usamos
ln!l(1+tfrac1kr) = 1k - 12k^2 + Ol(k^-3r)
Logo
ak = 1k - l(1k - 12k^2 + O(k^-3)r) = 12k^2 + Ol(k^-3r)
Como 12k^2 gera uma série convergente ( p=2>1), pelo critério de comparação a série sum ak converge absolutamente.

Passo 3

Calculemos a soma parcial
Sn = sumk=1^n ak = sumk=1^n 1k ;-;sumk=1^n ln!l(k+1kr)
Observando a soma telescópica,
sumk=1^n ln!l(k+1kr) = ln(n+1) - ln(1) = ln(n+1),
temos
Sn = Hn - ln(n+1),
onde Hn=sumk=1^n1k.

Passo 4

Sabendo que
Hn = ln n + gamma + o(1),
então
Sn = ln n + gamma + o(1) - ln(n+1) = gamma - ln!l(1+tfrac1nr) + o(1)
Como ln(1+1/n)to0, segue que
limntoinftySn = gamma

Resposta

A série converge (de fato, converge absolutamente) e seu somatório é o número de Euler–Mascheroni gamma.

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