[ 1, 0 ] Obter valores aproximados para as expressões abaixo usando expansões em série de potências:
G=integral0^1 11-ln x d x

Passo 1

O enunciado pede o valor aproximado de
G=integral0^111-ln x,dx
O conteúdo principal aqui é transformar o integral numa forma que envolva a função integral exponencial e então usar sua expansão em série de potências para obter o valor numérico.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = e^-t, dx = -e^-tdt
Quando x vai de 0 a 1, t vai de +infty a 0. Assim
G=integralx=0^111-ln x,dx =integralt=+infty^01,1-(-t),l(-e^-tr),dt =integral0^inftye^-t1+t,dt

Passo 3

Reconhecemos que
integral0^inftye^-t1+t,dt ;=;e;integral1^inftye^-uu,du ;=;e,E1(1),
onde definimos u=1+t e usamos a função integral exponencial
E1(z)=integralz^inftye^-uu,du
Logo
G = e,E1(1)

Passo 4

Usamos a expansão em séries de potências para E1(1). É conhecida a fórmula
E1(1) ;=;-,gamma ;-ln(1);+sumk=1^infty(-1)^,k+1k,k!,
sendo gammaapprox0,5772157 a constante de Euler–Mascheroni e ln(1)=0. Assim
E1(1)= -,gamma ;+sumk=1^infty(-1)^k+1k,k!

Passo 5

Calculamos os primeiros termos da soma
S=sumk=1^infty(-1)^k+1k,k!
até termos convergentes. Para k=1 a 6 temos:
k=1:& 11cdot1!=1, k=2:& -12cdot2!=-14=-0,25, k=3:& 13cdot6=118approx0,05556, k=4:& -14cdot24=-196approx-0,01042, k=5:& 15cdot120=1600approx0,00167, k=6:& -16cdot720=-14320approx-0,00023
Somando até k=6:
Sapprox 1-0,25+0,05556-0,01042+0,00167-0,00023 =0,79660
Então
E1(1)approx -,0,5772157 + 0,79660 = 0,21938

Passo 6

Finalmente
G = e,E1(1)approx 2,7182818times0,21938 = 0,59635

Resposta

Gapprox0,59635

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