[ 2,0 ] Avaliar a convergência das séries cujos termos gerais são
an=sen nn^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^inftyan onde an=sin(n)n^2
O tema é séries numéricas e vamos usar o teste de comparação e o conceito de convergência absoluta.

Passo 2

Para testar convergência absoluta, consideramos
|an|=|sin(n)|n^2
Como |sin(n)|<=1 para todo n, temos a desigualdade
|an|<=1n^2

Passo 3

Sabemos que
sumn=1^infty1n^2
é uma série p-série com p=2>1, logo converge. Pelo teste da comparação, como
0<=|an|<=1n^2
e a série da direita converge, concluímos que
sumn=1^infty|an|
também converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples.

Resposta

A série
sumn=1^inftysin(n)n^2
converge absolutamente (portanto converge).

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