Questão 2. Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
t^2 y^prime prime+3 t y prime+5 y=0, t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de Euler–Cauchy de segunda ordem
t^2y''+3t,y'+5y=0, t>0
e pede um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral. Para essas equações a gente supõe uma solução da forma y=t^r e obtém a equação característica em r.

Passo 2

Supondo y=t^r temos
y' = r,t^r-1, y'' = r(r-1),t^r-2
Substituindo em
t^2y''+3t,y'+5y=0
vem
t^2l[r(r-1)t^r-2r]+3tl[r,t^r-1r]+5,t^r=0 ;Longrightarrow; l[r(r-1)+3r+5r]t^r=0
Como t^rneq0, a parte em colchetes gera a equação característica.

Passo 3

A equação característica é
r(r-1)+3r+5=0 ;Longrightarrow; r^2+2r+5=0
Resolvendo em r:
r = -2 pm raiz4-202 = -1 pm 2,i

Passo 4

Com raízes complexas r=-1pm2i, o conjunto de soluções fundamentais é
y1(t)=t^-1cosl(2ln tr), y2(t)=t^-1sinl(2ln tr)
Isso vem da fórmula padrão para Euler–Cauchy quando as raízes são apm bi:
t^acosl(bln tr), t^asinl(bln tr)

Resposta

O conjunto de soluções fundamentais é
,t^-1cos(2ln t),;t^-1sin(2ln t),
e a solução geral fica
y(t)=C1,t^-1cos(2ln t)+C2,t^-1sin(2ln t),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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