Questão 2. Determine um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral das seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de Euler–Cauchy de segunda ordem
e pede um conjunto de soluções fundamentais e a solução geral. Para essas equações a gente supõe uma solução da forma
e obtém a equação característica em
.
Passo 2
Supondo
temos
Substituindo em
vem
Como
, a parte em colchetes gera a equação característica.
Passo 3
A equação característica é
Resolvendo em
:
Passo 4
Com raízes complexas
, o conjunto de soluções fundamentais é
Isso vem da fórmula padrão para Euler–Cauchy quando as raízes são
:
Resposta
O conjunto de soluções fundamentais é
e a solução geral fica
onde
e
são constantes arbitrárias.