Os dados abaixo são referentes a eficiência de três tipos de detergentes. Teste, ao nível de 95 % de significância, se há diferença entre os detergentes.
Det A 77 81 71 76 80
Det B 72 58 74 66 70
Det C 76 85 82 80 77

Passo 1

Tá tranquilo! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa analisar se há diferença na eficiência entre três tipos de detergentes (A, B e C) usando um teste estatístico com nível de significância de 95%. Para isso, vamos usar a ANOVA (Análise de Variância), que é perfeita para comparar as médias de três ou mais grupos. Precisamos entender um pouquinho de média, variância e como a ANOVA funciona para seguir em frente.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados:
  • Detergente A: 77, 81, 71, 76, 80
  • Detergente B: 72, 58, 74, 66, 70
  • Detergente C: 76, 85, 82, 80, 77

Passo 3

Vamos calcular a média de cada detergente.
  • Média A: (77 + 81 + 71 + 76 + 80) / 5 = 385 / 5 = 77
  • Média B: (72 + 58 + 74 + 66 + 70) / 5 = 340 / 5 = 68
  • Média C: (76 + 85 + 82 + 80 + 77) / 5 = 400 / 5 = 80

Passo 4

Agora, calculamos a média geral de todas as observações.
Soma total: 77 + 81 + 71 + 76 + 80 + 72 + 58 + 74 + 66 + 70 + 76 + 85 + 82 + 80 + 77 = 1057
Número total de observações: 15
Média geral: 1057 / 15 approx 70.47

Passo 5

Vamos calcular a Soma dos Quadrados Total (SQT), que mede a variação total dos dados.
SQT = sum (Xij - Média Geral)^2 é
Fazendo as contas para cada valor:
Para Det A:
  • (77 - 70.47)^2 approx 42.43
  • (81 - 70.47)^2 approx 110.60
  • (71 - 70.47)^2 approx 0.28
  • (76 - 70.47)^2 approx 30.63
  • (80 - 70.47)^2 approx 90.63
Total Det A: 42.43 + 110.60 + 0.28 + 30.63 + 90.63 approx 274.57
Para Det B:
  • (72 - 70.47)^2 approx 2.35
  • (58 - 70.47)^2 approx 154.17
  • (74 - 70.47)^2 approx 12.61
  • (66 - 70.47)^2 approx 19.80
  • (70 - 70.47)^2 approx 0.22
Total Det B: 2.35 + 154.17 + 12.61 + 19.80 + 0.22 approx 188.15
Para Det C:
  • (76 - 70.47)^2 approx 30.63
  • (85 - 70.47)^2 approx 210.74
  • (82 - 70.47)^2 approx 134.35
  • (80 - 70.47)^2 approx 90.63
  • (77 - 70.47)^2 approx 42.43
Total Det C: 30.63 + 210.74 + 134.35 + 90.63 + 42.43 approx 508.78
SQT Total: 274.57 + 188.15 + 508.78 approx 971.5

Passo 6

Agora, vamos calcular a Soma dos Quadrados entre os Grupos (SQE), que mede a variação entre as médias dos grupos.
SQE = sum ni (Médiai - Média Geral)^2 éé
Onde ni é o número de observações em cada grupo (no caso, 5).
Para Det A:
5 times (77 - 70.47)^2 approx 5 times 42.43 approx 212.15
Para Det B:
5 times (68 - 70.47)^2 approx 5 times 6.19 approx 30.95
Para Det C:
5 times (80 - 70.47)^2 approx 5 times 90.63 approx 453.15
SQE Total: 212.15 + 30.95 + 453.15 approx 696.25

Passo 7

Vamos calcular a Soma dos Quadrados Dentro dos Grupos (SQD), que é a variação dentro de cada grupo.
SQD = SQT - SQE
SQD = 971.5 - 696.25 approx 275.25

Passo 8

Agora, determinamos os graus de liberdade.
  • Graus de liberdade entre grupos ( dfE): número de grupos - 1 = 3 - 1 = 2
  • Graus de liberdade dentro dos grupos ( dfD): número total de observações - número de grupos = 15 - 3 = 12

Passo 9

Calculamos a Média dos Quadrados.
MQE = SQE / dfE = 696.25 / 2 = 348.125
MQD = SQD / dfD = 275.25 / 12 approx 22.94

Passo 10

Agora, calculamos o valor da estatística F.
F = MQE / MQD = 348.125 / 22.94 approx 15.16

Passo 11

Consultando uma tabela F com dfE = 2 e dfD = 12 para nível de significância de 5%, o valor crítico de F é aproximadamente 3.89.

Passo 12

Como nosso valor calculado de F approx 15.16 é maior que o valor crítico de 3.89, rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com nível de significância de 95%, há evidências suficientes para afirmar que existe diferença na eficiência entre os três tipos de detergentes.

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