Estamos desconfiados de que a média das receitas municipais per capta das cidades pequenas (até 20000 habitantes) é maior do que a das receitas do estado que é de 1229 unidades. Para comprovar ou não está hipótese foram sorteadas dez pequenas cidades com as seguintes receitas:
1230; 682; 576; 2093; 2621; 1045; 1439; 717; 1838; 1359.
1230; 682; 576; 2093; 2621; 1045; 1439; 717; 1838; 1359.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está querendo saber se, em média, as receitas per capita das pequenas cidades (com até 20.000 habitantes) são maiores do que a média estadual, que é de 1229 unidades. Para isso, temos uma amostra de 10 cidades com suas receitas: 1230; 682; 576; 2093; 2621; 1045; 1439; 717; 1838; 1359.
Vamos usar teste t de uma amostra para comparar a média da amostra com a média conhecida do estado. Isso vai nos ajudar a ver se a diferença é significativa ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Vamos somar esses números:
Agora, dividimos pela quantidade de cidades (10):
Então, a média da amostra é 1350 unidades.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média. A fórmula do desvio padrão para uma amostra é:
Onde:
- $ x_i $ são os valores individuais,
- $ \bar{x} $ é a média da amostra,
- $ n $ é o número de observações.
Vamos calcular cada
:
Somando todos esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de observações menos 1 (n - 1 = 9):
Então, o desvio padrão da amostra é aproximadamente 577.56 unidades.
Passo 4
Vamos formular as hipóteses para o teste:
- Hipótese Nula (
): A média das receitas das pequenas cidades é igual a 1229 unidades ( ). - Hipótese Alternativa (
): A média das receitas das pequenas cidades é maior que 1229 unidades ( ).
Esse é um teste unilateral, pois queremos saber se a média é maior.
Passo 5
Agora, vamos calcular o estatístico de teste t usando a fórmula:
Onde:
- $ \bar{x} = 1350 $
- $ \mu = 1229 $
- $ s \approx 577.56 $
- $ n = 10 $
Substituindo os valores:
Então, o valor do t é aproximadamente 0.663.
Passo 6
Vamos determinar o valor crítico para o teste t. Normalmente, usamos um nível de significância de 5% (0.05). Com
graus de liberdade, olhando em uma tabela t, o valor crítico para um teste unilateral com
é aproximadamente 1.833.
Passo 7
Agora, comparamos o estatístico de teste t com o valor crítico:
Como 0.663 é menor que 1.833, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base no teste realizado, não há evidências suficientes para afirmar que a média das receitas per capita das pequenas cidades é maior que 1229 unidades.