Estamos desconfiados de que a média das receitas municipais per capta das cidades pequenas (até 20000 habitantes) é maior do que a das receitas do estado que é de 1229 unidades. Para comprovar ou não está hipótese foram sorteadas dez pequenas cidades com as seguintes receitas:
1230; 682; 576; 2093; 2621; 1045; 1439; 717; 1838; 1359.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente está querendo saber se, em média, as receitas per capita das pequenas cidades (com até 20.000 habitantes) são maiores do que a média estadual, que é de 1229 unidades. Para isso, temos uma amostra de 10 cidades com suas receitas: 1230; 682; 576; 2093; 2621; 1045; 1439; 717; 1838; 1359.
Vamos usar teste t de uma amostra para comparar a média da amostra com a média conhecida do estado. Isso vai nos ajudar a ver se a diferença é significativa ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de valores.
Média = 1230 + 682 + 576 + 2093 + 2621 + 1045 + 1439 + 717 + 1838 + 135910 é
Vamos somar esses números:
1230 + 682 = 1912
1912 + 576 = 2488
2488 + 2093 = 4581
4581 + 2621 = 7202
7202 + 1045 = 8247
8247 + 1439 = 9686
9686 + 717 = 10403
10403 + 1838 = 122241
12241 + 1359 = 13500
Agora, dividimos pela quantidade de cidades (10):
Média = 1350010 = 1350 é
Então, a média da amostra é 1350 unidades.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra, que mede o quanto os valores estão dispersos em relação à média. A fórmula do desvio padrão para uma amostra é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • $ x_i $ são os valores individuais,
  • $ \bar{x} $ é a média da amostra,
  • $ n $ é o número de observações.
Vamos calcular cada xi :
barx
n
(xi - barx)^2
(1230 - 1350)^2 = (-120)^2 = 14400
(682 - 1350)^2 = (-668)^2 = 446224
(576 - 1350)^2 = (-774)^2 = 599076
(2093 - 1350)^2 = (743)^2 = 552049
(2621 - 1350)^2 = (1271)^2 = 1616641
(1045 - 1350)^2 = (-305)^2 = 93025
(1439 - 1350)^2 = (89)^2 = 7921
Somando todos esses valores:
(717 - 1350)^2 = (-633)^2 = 400689
Agora, dividimos pela quantidade de observações menos 1 (n - 1 = 9):
(1838 - 1350)^2 = (488)^2 = 238144
Então, o desvio padrão da amostra é aproximadamente 577.56 unidades.

Passo 4

Vamos formular as hipóteses para o teste:
  • Hipótese Nula ( H0): A média das receitas das pequenas cidades é igual a 1229 unidades ( mu = 1229).
  • Hipótese Alternativa ( Ha): A média das receitas das pequenas cidades é maior que 1229 unidades ( mu > 1229).
Esse é um teste unilateral, pois queremos saber se a média é maior.

Passo 5

Agora, vamos calcular o estatístico de teste t usando a fórmula:
t = barx - mus / raizn
Onde:
  • $ \bar{x} = 1350 $
  • $ \mu = 1229 $
  • $ s \approx 577.56 $
  • $ n = 10 $
Substituindo os valores:
barx = 1350
Então, o valor do t é aproximadamente 0.663.

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico para o teste t. Normalmente, usamos um nível de significância de 5% (0.05). Com n - 1 = 9 graus de liberdade, olhando em uma tabela t, o valor crítico para um teste unilateral com alpha = 0.05 é aproximadamente 1.833.

Passo 7

Agora, comparamos o estatístico de teste t com o valor crítico:
0.663 < 1.833
Como 0.663 é menor que 1.833, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, não há evidências suficientes para afirmar que a média das receitas per capita das pequenas cidades é maior que 1229 unidades.

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