Avaliar se uma função apresenta ponto de inflexão e calcular esse ponto depende do conhecimento da derivada de segunda ordem dessa função. Já, para a análise da concavidade, precisamos verificar os seguintes conceitos:
I) O teste da segunda derivada permite a análise da concavidade da função em intervalos previamente determinados.
II) Apenas com o teste da primeira derivada é possível avaliar a concavidade de uma função.
III) Afirmar que f(x) possui um ponto crítico em um intervalo I conhecido, permite concluir que a função é côncava para baixo em I. Analise as afirmações apresentadas em I), II) e III) e assinale a alternativa que expressa apenas as afirmações verdadeiras. Escolha uma:

Passo 1

Vamos resumir o que a pergunta está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver.
Enunciado resumido: Precisamos verificar quais das afirmações I, II e III sobre concavidade de funções e testes de derivadas são verdadeiras.
Conteúdo da matéria:
  • Concavidade de funções: Refere-se à direção da curvatura de uma função. Uma função é côncava para cima se sua curva “abre para cima” e côncava para baixo se “abre para baixo”.
  • Derivadas: A primeira derivada nos dá a taxa de variação da função, e a segunda derivada nos informa sobre a concavidade.
  • Pontos de inflexão: São pontos onde a concavidade da função muda.
O que vamos precisar:
  • Teste da segunda derivada para analisar a concavidade.
  • Entender o que é um ponto crítico e como ele se relaciona com a concavidade.

Passo 2

Vamos analisar a afirmação I:
I) O teste da segunda derivada permite a análise da concavidade da função em intervalos previamente determinados.
Explicação: O teste da segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade de uma função. Se a segunda derivada $ f’’(x) $ for positiva em um intervalo, a função é côncava para cima nesse intervalo. Se for negativa, a função é côncava para baixo.
Conclusão: A afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II:
II) Apenas com o teste da primeira derivada é possível avaliar a concavidade de uma função.
Explicação: A primeira derivada $ f’(x) $ nos dá informações sobre o crescimento ou decrescimento da função e sobre seus pontos críticos (onde $ f’(x) = 0 $). No entanto, para avaliar a concavidade, precisamos da segunda derivada $ f’’(x) $. Portanto, a primeira derivada sozinha não é suficiente para determinar a concavidade.
Conclusão: A afirmação II é falsa.

Passo 4

Agora, vamos analisar a afirmação III:
III) Afirmar que f(x) possui um ponto crítico em um intervalo I conhecido, permite concluir que a função é côncava para baixo em I.
Explicação: Um ponto crítico ocorre onde $ f’(x) = 0 $ ou $ f’(x) $ não existe. Ter um ponto crítico em um intervalo não nos informa diretamente sobre a concavidade da função nesse intervalo. A concavidade depende da segunda derivada $ f’’(x) $, não apenas da existência de pontos críticos.
Conclusão: A afirmação III é falsa.

Resposta

Apenas a afirmação I é verdadeira.

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