Seja
contínua na região
defina para
e
. Esboce um argumento para provar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função $ z = f(x, y) $ que é contínua na região $ D = [a, b] \times [c, d] $. A gente define uma nova função $ F(x, y) $ como uma integral dupla:
Nosso objetivo aqui é provar que as segundas derivadas parciais mistas de $ F $, isto é, $ \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} $ e $ \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} $, são iguais a $ f(x, y) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a troca de ordem de diferenciação e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $. Quando derivamos uma integral em relação a uma das suas variáveis de limite, a Regra de Leibniz nos ajuda. Então, derivando $ F $ em relação a $ x $:
Aqui, tratamos $ y $ como uma constante e diferimos apenas em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, vamos derivar a expressão que encontramos, $ \frac{\partial F}{\partial x} $, em relação a $ y $. Novamente aplicamos a Regra de Leibniz para derivar uma integral onde $ y $ é o limite superior:
Portanto, chegamos a que $ \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} = f(x, y) $.
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas na ordem inversa, ou seja, primeiro derivar $ F $ em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Primeiro, derivando $ F $ em relação a $ y $:
Aqui, tratamos $ x $ como constante e derivamos em relação a $ y $.
Passo 5
Em seguida, derivamos a expressão $ \frac{\partial F}{\partial y} $ em relação a $ x $. Novamente, usamos a Regra de Leibniz:
Ou seja, $ \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = f(x, y) $.
Resposta
Concluímos que as segundas derivadas parciais mistas de $ F $ são iguais a $ f(x, y) $: