Seja z=f(x, y) contínua na região D=[a, b] times[c, d] e defina para x in[a, b] e y in[c, d], F(x, y)= integrala^x integralb^y f(u, v) d v d u. Esboce um argumento para provar que partial 2 Fpartial x partial y=partial 2 Fpartial y partial x=f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função $ z = f(x, y) $ que é contínua na região $ D = [a, b] \times [c, d] $. A gente define uma nova função $ F(x, y) $ como uma integral dupla:
z = f(x, y)
Nosso objetivo aqui é provar que as segundas derivadas parciais mistas de $ F $, isto é, $ \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} $ e $ \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} $, são iguais a $ f(x, y) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e a troca de ordem de diferenciação e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $. Quando derivamos uma integral em relação a uma das suas variáveis de limite, a Regra de Leibniz nos ajuda. Então, derivando $ F $ em relação a $ x $:
F
Aqui, tratamos $ y $ como uma constante e diferimos apenas em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, vamos derivar a expressão que encontramos, $ \frac{\partial F}{\partial x} $, em relação a $ y $. Novamente aplicamos a Regra de Leibniz para derivar uma integral onde $ y $ é o limite superior:
partial Fpartial x
Portanto, chegamos a que $ \frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x} = f(x, y) $.

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas na ordem inversa, ou seja, primeiro derivar $ F $ em relação a $ y $ e depois em relação a $ x $.
Primeiro, derivando $ F $ em relação a $ y $:
F
Aqui, tratamos $ x $ como constante e derivamos em relação a $ y $.

Passo 5

Em seguida, derivamos a expressão $ \frac{\partial F}{\partial y} $ em relação a $ x $. Novamente, usamos a Regra de Leibniz:
partial Fpartial y
Ou seja, $ \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = f(x, y) $.

Resposta

Concluímos que as segundas derivadas parciais mistas de $ F $ são iguais a $ f(x, y) $:
F

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