Avalie as afirmações abaixo quanto sua veracidade e assinale a alternativa correta
। - O domínio de uma função de
em
é
II - O gráfico de uma função de
em
mora em
III - As superfícies de nível de uma função de
em
moram em
IV - O gráfico de uma função de
em
mora em
V - A imagem de uma função de
em
mora em
VI - As curvas de nível de uma função de
em
moram em
a. Falso, Verdadeiro, Verdadeiro, Verdadeiro, Falso, Falso
b. Verdadeiro, Falso, Falso, Verdadeiro, Falso, Verdadeiro
c. Falso, Verdadeiro, Falso, Verdadeiro, Falso, Verdadeiro
d. Verdadeiro, Falso, Falso, Verdadeiro, Verdadeiro, Verdadeiro
ө. Falso, Verdadeiro, Verdadeiro, Falso, Verdadeiro, Falso
। - O domínio de uma função de
II - O gráfico de uma função de
III - As superfícies de nível de uma função de
IV - O gráfico de uma função de
V - A imagem de uma função de
VI - As curvas de nível de uma função de
Passo 1
O enunciado pede que eu avalie a veracidade das seis afirmações I a VI e escolha a alternativa correta entre as dadas. Vou listar explicitamente cada afirmação para ficar claro o que preciso julgar:
I - “O domínio de uma função de
em
é
.”
II - “O gráfico de uma função de em
mora em
.”
III - “As superfícies de nível de uma função de em
moram em
.”
IV - “O gráfico de uma função de em
mora em
.”
V - “A imagem de uma função de em
mora em
.”
VI - “As curvas de nível de uma função de em
moram em
.”
II - “O gráfico de uma função de
III - “As superfícies de nível de uma função de
IV - “O gráfico de uma função de
V - “A imagem de uma função de
VI - “As curvas de nível de uma função de
Vou decidir Verdadeiro/Falso para cada uma, justificando passo a passo.
Passo 2
Definição de domínio: o domínio de uma função é o conjunto de todos os pontos que podem ser usados como entrada na função. Se escrevemos uma função como
, isso significa que o domínio (conjunto de entradas) é
. Aqui cada elemento do domínio é um vetor com
coordenadas.
Exemplo concreto: se
então uma entrada típica é
; o domínio é
.
Passo 3
Definição de imagem (ou conjunto imagem): para
, a imagem é o conjunto
, que é um subconjunto do codomínio
. Portanto a imagem “mora” em
(ou em um subconjunto dele), nunca em algum espaço de dimensão diferente por padrão.
Exemplo concreto: se
, então
.
Passo 4
Definição de gráfico de uma função real-valorada: para
, o gráfico é o conjunto de pares
. Cada ponto do gráfico tem
coordenadas da entrada mais
coordenada do valor; portanto o gráfico é um subconjunto de
.
Exemplos:
- Se
, o gráfico vive em . - Se
, o gráfico vive em .
Passo 5
Definição de conjuntos de nível (ou superfícies/curvas de nível): dado
e um valor escalar
, o conjunto de nível associado a
é
. Esse conjunto é um subconjunto do domínio
, logo “mora” em
. Dependendo de
, esse conjunto pode ser uma curva, uma superfície, um conjunto de pontos, etc.:
- Para
: conjuntos de nível são curvas no plano . - Para
: conjuntos de nível são superfícies no espaço .
Passo 6
Agora avalio a afirmação I com base no Passo 2.
I - “O domínio de uma função de
em
é
.”
Justificativa: se a função é dada como
, o domínio é
, não
. Portanto I é falsa.
Passo 7
Avalio a afirmação II com base no Passo 4.
II - “O gráfico de uma função de
em
mora em
.”
Justificativa: pelo fato geral de que o gráfico de
fica em
, aqui
então o gráfico fica em
. Portanto II é verdadeira.
Passo 8
Avalio a afirmação III com base no Passo 5.
III - “As superfícies de nível de uma função de
em
moram em
.”
Justificativa: conjuntos de nível de
são subconjuntos de
; usualmente chamamos esses subconjuntos de superfícies. Logo III é verdadeira.
Passo 9
Avalio a afirmação IV com base no Passo 4.
IV - “O gráfico de uma função de
em
mora em
.”
Justificativa: para
temos
então gráfico em
. Portanto IV é verdadeira.
Passo 10
Avalio a afirmação V com base no Passo 3.
V - “A imagem de uma função de
em
mora em
.”
Justificativa: a imagem de
é um subconjunto de
, não de
. Não há razão para que a imagem esteja em
. Portanto V é falsa.
Passo 11
Avalio a afirmação VI com base no Passo 5.
VI - “As curvas de nível de uma função de
em
moram em
.”
Justificativa: conjuntos de nível de
são subconjuntos de
(curvas no plano), logo moram em
, não em
. Portanto VI é falsa.
Passo 12
Resumo final das verdades/mentiras encontradas:
I: Falso
II: Verdadeiro
III: Verdadeiro
IV: Verdadeiro
V: Falso
VI: Falso
II: Verdadeiro
III: Verdadeiro
IV: Verdadeiro
V: Falso
VI: Falso
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a)