Avalie as afirmações abaixo quanto sua veracidade e assinale a alternativa correta
। - O domínio de uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R} é \mathbb{R}
II - O gráfico de uma função de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R} mora em \mathbb{R}^{5}
III - As superfícies de nível de uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R} moram em \mathbb{R}^{3}
IV - O gráfico de uma função de \mathbb{R} em \mathbb{R} mora em \mathbb{R}^{2}
V - A imagem de uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R} mora em \mathbb{R}^{4}
VI - As curvas de nível de uma função de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R} moram em \mathbb{R}^{3}
\square a. Falso, Verdadeiro, Verdadeiro, Verdadeiro, Falso, Falso
\bigcirc b. Verdadeiro, Falso, Falso, Verdadeiro, Falso, Verdadeiro
\bigcirc c. Falso, Verdadeiro, Falso, Verdadeiro, Falso, Verdadeiro
\bigcirc d. Verdadeiro, Falso, Falso, Verdadeiro, Verdadeiro, Verdadeiro
\bigcirc ө. Falso, Verdadeiro, Verdadeiro, Falso, Verdadeiro, Falso

Passo 1

O enunciado pede que eu avalie a veracidade das seis afirmações I a VI e escolha a alternativa correta entre as dadas. Vou listar explicitamente cada afirmação para ficar claro o que preciso julgar:
I - “O domínio de uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R} é \mathbb{R}.”
II - “O gráfico de uma função de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R} mora em \mathbb{R}^{5}.”
III - “As superfícies de nível de uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R} moram em \mathbb{R}^{3}.”
IV - “O gráfico de uma função de \mathbb{R} em \mathbb{R} mora em \mathbb{R}^{2}.”
V - “A imagem de uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R} mora em \mathbb{R}^{4}.”
VI - “As curvas de nível de uma função de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R} moram em \mathbb{R}^{3}.”
Vou decidir Verdadeiro/Falso para cada uma, justificando passo a passo.

Passo 2

Definição de domínio: o domínio de uma função é o conjunto de todos os pontos que podem ser usados como entrada na função. Se escrevemos uma função como f\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}^{m}, isso significa que o domínio (conjunto de entradas) é \mathbb{R}^{n}. Aqui cada elemento do domínio é um vetor com n coordenadas.
Exemplo concreto: se g\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} então uma entrada típica é (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}; o domínio é \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Definição de imagem (ou conjunto imagem): para f\colon \mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}, a imagem é o conjunto \{\,f(x)\mid x\in\mathbb{R}^{n}\,\}, que é um subconjunto do codomínio \mathbb{R}^{m}. Portanto a imagem “mora” em \mathbb{R}^{m} (ou em um subconjunto dele), nunca em algum espaço de dimensão diferente por padrão.
Exemplo concreto: se h\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}, então \mathrm{Im}(h)\subseteq\mathbb{R}.

Passo 4

Definição de gráfico de uma função real-valorada: para f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}, o gráfico é o conjunto de pares \{(x,f(x)) \mid x\in\mathbb{R}^{n}\}. Cada ponto do gráfico tem n coordenadas da entrada mais 1 coordenada do valor; portanto o gráfico é um subconjunto de \mathbb{R}^{n+1}.
Exemplos:
  • Se f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, o gráfico vive em \mathbb{R}^{1+1}=\mathbb{R}^{2}.
  • Se f\colon\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}, o gráfico vive em \mathbb{R}^{4+1}=\mathbb{R}^{5}.

Passo 5

Definição de conjuntos de nível (ou superfícies/curvas de nível): dado f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} e um valor escalar c\in\mathbb{R}, o conjunto de nível associado a c é \{x\in\mathbb{R}^{n}\mid f(x)=c\}. Esse conjunto é um subconjunto do domínio \mathbb{R}^{n}, logo “mora” em \mathbb{R}^{n}. Dependendo de n, esse conjunto pode ser uma curva, uma superfície, um conjunto de pontos, etc.:
  • Para n=2: conjuntos de nível são curvas no plano \mathbb{R}^{2}.
  • Para n=3: conjuntos de nível são superfícies no espaço \mathbb{R}^{3}.

Passo 6

Agora avalio a afirmação I com base no Passo 2.
I - “O domínio de uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R} é \mathbb{R}.”
Justificativa: se a função é dada como f\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}, o domínio é \mathbb{R}^{3}, não \mathbb{R}. Portanto I é falsa.

Passo 7

Avalio a afirmação II com base no Passo 4.
II - “O gráfico de uma função de \mathbb{R}^{4} em \mathbb{R} mora em \mathbb{R}^{5}.”
Justificativa: pelo fato geral de que o gráfico de f\colon\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R} fica em \mathbb{R}^{n+1}, aqui n=4 então o gráfico fica em \mathbb{R}^{5}. Portanto II é verdadeira.

Passo 8

Avalio a afirmação III com base no Passo 5.
III - “As superfícies de nível de uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R} moram em \mathbb{R}^{3}.”
Justificativa: conjuntos de nível de f\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} são subconjuntos de \mathbb{R}^{3}; usualmente chamamos esses subconjuntos de superfícies. Logo III é verdadeira.

Passo 9

Avalio a afirmação IV com base no Passo 4.
IV - “O gráfico de uma função de \mathbb{R} em \mathbb{R} mora em \mathbb{R}^{2}.”
Justificativa: para f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} temos n=1 então gráfico em \mathbb{R}^{1+1}=\mathbb{R}^{2}. Portanto IV é verdadeira.

Passo 10

Avalio a afirmação V com base no Passo 3.
V - “A imagem de uma função de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R} mora em \mathbb{R}^{4}.”
Justificativa: a imagem de f\colon\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} é um subconjunto de \mathbb{R}, não de \mathbb{R}^{4}. Não há razão para que a imagem esteja em \mathbb{R}^{4}. Portanto V é falsa.

Passo 11

Avalio a afirmação VI com base no Passo 5.
VI - “As curvas de nível de uma função de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R} moram em \mathbb{R}^{3}.”
Justificativa: conjuntos de nível de f\colon\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} são subconjuntos de \mathbb{R}^{2} (curvas no plano), logo moram em \mathbb{R}^{2}, não em \mathbb{R}^{3}. Portanto VI é falsa.

Passo 12

Resumo final das verdades/mentiras encontradas:
I: Falso
II: Verdadeiro
III: Verdadeiro
IV: Verdadeiro
V: Falso
VI: Falso
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a)

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