Associe cada função com a descrição do mesmo
O gráfico da função
f(x, y)=-10 y-4 é
um plano

Passo 1

O enunciado pede para associar a função dada com a descrição correta do seu gráfico. A função fornecida é
f(x,y)=-10\,y-4.
Informações relevantes: a fórmula explícita de f está definida para pares (x,y) (domínio presumivelmente todo \mathbb{R}^2); precisamos descrever o gráfico dessa função no espaço tridimensional.

Passo 2

O que é o “gráfico” de uma função de duas variáveis?
Definição: o gráfico de uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é o conjunto de pontos (x,y,z) em \mathbb{R}^3 tais que
z=f(x,y).
Ou seja, é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=f(x,y)\}.
Para a nossa função, substituímos f e obtemos a equação que todos os pontos do gráfico satisfazem.

Passo 3

Escrevendo a equação do gráfico da função dada:
z = -10\,y - 4.
Essa é a relação entre (x,y,z) que define o conjunto de pontos do gráfico.

Passo 4

Lembrete sobre planos em \mathbb{R}^3: uma equação geral de um plano é
a x + b y + c z + d = 0,
onde a,b,c,d são constantes e (a,b,c) é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular ao plano). Se uma equação pode ser escrita nesse formato, ela descreve um plano.

Passo 5

Reescrevemos a equação do gráfico na forma geral do plano. Partindo de
z = -10\,y - 4,
passamos todos os termos para o mesmo lado:
10\,y + z + 4 = 0.
Comparando com a x + b y + c z + d = 0, temos a=0, b=10, c=1, d=4. Portanto a equação é exatamente a de um plano em \mathbb{R}^3. O vetor normal é
(0,10,1).

Passo 6

Interpretação geométrica e verificação intuitiva:
  • Não aparece x na expressão, logo a coordenada x não influencia z; isso significa que o plano é paralelo ao eixo x (ou seja, se fixarmos y e z num ponto do plano, podemos variar x livremente e permanecer no plano).
  • A inclinação em direção ao eixo y é dada pelo coeficiente -10: se aumentarmos y em 1, então z diminui em 10. A inclinação em direção ao eixo x é 0. Isso é compatível com um plano inclinado somente na direção y.
  • Exemplos de interseções para visualizar: para y=0 temos z=-4, que é a reta \{(x,0,-4)\mid x\in\mathbb{R}\} contida no plano; para z=0 temos 0=-10y-4\Rightarrow y=-\tfrac{2}{5}, que dá a reta \{(x,-\tfrac{2}{5},0)\mid x\in\mathbb{R}\}. Essas retas confirmam que o conjunto é plano (retas paralelas a x).

Passo 7

Observação didática geral (como usar isso na prova): qualquer função afim da forma
f(x,y)=\alpha x+\beta y+\gamma
tem gráfico que é um plano, porque sua equação pode ser escrita como
\alpha x+\beta y - z + \gamma = 0,
que é da forma a x + b y + c z + d = 0. No caso dado, \alpha=0, \beta=-10, \gamma=-4.

Resposta

plano

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