Associe cada função com a descrição do mesmo
O gráfico da função
é
um plano
O gráfico da função
um plano
Passo 1
O enunciado pede para associar a função dada com a descrição correta do seu gráfico. A função fornecida é
Informações relevantes: a fórmula explícita de
está definida para pares
(domínio presumivelmente todo
); precisamos descrever o gráfico dessa função no espaço tridimensional.
Passo 2
O que é o “gráfico” de uma função de duas variáveis?
Definição: o gráfico de uma função é o conjunto de pontos
em
tais que
Definição: o gráfico de uma função
Ou seja, é
Para a nossa função, substituímos
e obtemos a equação que todos os pontos do gráfico satisfazem.
Passo 3
Escrevendo a equação do gráfico da função dada:
Essa é a relação entre
que define o conjunto de pontos do gráfico.
Passo 4
Lembrete sobre planos em
: uma equação geral de um plano é
onde
são constantes e
é um vetor normal ao plano (ou seja, perpendicular ao plano). Se uma equação pode ser escrita nesse formato, ela descreve um plano.
Passo 5
Reescrevemos a equação do gráfico na forma geral do plano. Partindo de
passamos todos os termos para o mesmo lado:
Comparando com
, temos
,
,
,
. Portanto a equação é exatamente a de um plano em
. O vetor normal é
Passo 6
Interpretação geométrica e verificação intuitiva:
- Não aparece
na expressão, logo a coordenada não influencia ; isso significa que o plano é paralelo ao eixo (ou seja, se fixarmos e num ponto do plano, podemos variar livremente e permanecer no plano). - A inclinação em direção ao eixo
é dada pelo coeficiente : se aumentarmos em , então diminui em . A inclinação em direção ao eixo é . Isso é compatível com um plano inclinado somente na direção . - Exemplos de interseções para visualizar: para
temos , que é a reta contida no plano; para temos , que dá a reta . Essas retas confirmam que o conjunto é plano (retas paralelas a ).
Passo 7
Observação didática geral (como usar isso na prova): qualquer função afim da forma
tem gráfico que é um plano, porque sua equação pode ser escrita como
que é da forma
. No caso dado,
,
,
.
Resposta
plano