[Valor: 4,0] Calcular as seguintes integrais:
\int \cos ^{5}(x) \sin ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{5}(x)\sin^{2}(x)\,dx.
Informações relevantes que temos no enunciado:
  • A integranda é o produto de potências de seno e cosseno: \cos^{5}(x) e \sin^{2}(x).
  • Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), então o resultado virá com uma constante de integração C.
  • Devemos transformar a expressão para usar uma técnica que nos permita integrar (substituição trigonométrica e/ou identidades algébricas).

Passo 2

Observação estratégica (sem resolver ainda): quando aparece uma potência ímpar de \cos(x) ou de \sin(x), uma boa estratégia é separar um fator daquela função ímpar para combinar com dx e usar substituição. Aqui \cos^{5}(x)=\cos^{4}(x)\cos(x); portanto podemos reservar um fator \cos(x)\,dx para a substituição e escrever o resto em função de \sin(x) usando a identidade pitagórica. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Recordando a identidade trigonométrica que será usada:
\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1.
Dela segue que
\cos^{2}(x)=1-\sin^{2}(x).
Assim,
\cos^{4}(x)=(\cos^{2}(x))^{2}=(1-\sin^{2}(x))^{2}.
Então podemos reescrever a integranda fatorando um \cos(x) que servirá para du.

Passo 4

Reescrevendo a integral conforme a ideia:
\int \cos^{5}(x)\sin^{2}(x)\,dx =\int \cos^{4}(x)\sin^{2}(x)\cdot\cos(x)\,dx =\int \bigl(1-\sin^{2}(x)\bigr)^{2}\sin^{2}(x)\cdot\cos(x)\,dx.
Agora faça a substituição natural: defina
u=\sin(x).
Então a diferencial é
du=\cos(x)\,dx,
ou seja, o fator \cos(x)\,dx que reservamos é exatamente du. Isso transforma a integral em um polinômio em u.

Passo 5

Aplicando a substituição \,u=\sin(x) e du=\cos(x)\,dx, obtemos:
\int \bigl(1-\sin^{2}(x)\bigr)^{2}\sin^{2}(x)\cos(x)\,dx =\int (1-u^{2})^{2}u^{2}\,du.
Agora vamos expandir o polinômio para facilitar a integração. Expansão:
(1-u^{2})^{2}u^{2}=(1-2u^{2}+u^{4})u^{2}=u^{2}-2u^{4}+u^{6}.

Passo 6

Integramos termo a termo usando a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando ao polinômio u^{2}-2u^{4}+u^{6}:
\int (u^{2}-2u^{4}+u^{6})\,du =\int u^{2}\,du-2\int u^{4}\,du+\int u^{6}\,du.
Calculando cada parcela:
\int u^{2}\,du=\frac{u^{3}}{3},\qquad \int u^{4}\,du=\frac{u^{5}}{5},\qquad \int u^{6}\,du=\frac{u^{7}}{7}.
Portanto,
\int (u^{2}-2u^{4}+u^{6})\,du =\frac{u^{3}}{3}-2\cdot\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}+C =\frac{u^{3}}{3}-\frac{2u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}+C.

Passo 7

Voltando à variável original usando u=\sin(x), substituímos u por \sin(x) em cada termo:
\frac{u^{3}}{3}-\frac{2u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}+C =\frac{\sin^{3}(x)}{3}-\frac{2\sin^{5}(x)}{5}+\frac{\sin^{7}(x)}{7}+C.

Passo 8

Resumo final: a primitiva encontrada é
\frac{\sin^{3}(x)}{3}-\frac{2\sin^{5}(x)}{5}+\frac{\sin^{7}(x)}{7}+C.
Se quiseres, dá para verificar derivando este resultado e confirmando que a derivada é \cos^{5}(x)\sin^{2}(x) (essa verificação usa a regra da cadeia e da potência).

Resposta

\frac{\sin^{3}(x)}{3}-\frac{2\sin^{5}(x)}{5}+\frac{\sin^{7}(x)}{7}+C

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