[Valor: 4,0] Calcular as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes que temos no enunciado:
- A integranda é o produto de potências de seno e cosseno:
e . - Não há limites de integração (é uma primitiva indefinida), então o resultado virá com uma constante de integração
. - Devemos transformar a expressão para usar uma técnica que nos permita integrar (substituição trigonométrica e/ou identidades algébricas).
Passo 2
Observação estratégica (sem resolver ainda): quando aparece uma potência ímpar de
ou de
, uma boa estratégia é separar um fator daquela função ímpar para combinar com
e usar substituição. Aqui
; portanto podemos reservar um fator
para a substituição e escrever o resto em função de
usando a identidade pitagórica. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Recordando a identidade trigonométrica que será usada:
Dela segue que
Assim,
Então podemos reescrever a integranda fatorando um
que servirá para
.
Passo 4
Reescrevendo a integral conforme a ideia:
Agora faça a substituição natural: defina
Então a diferencial é
ou seja, o fator
que reservamos é exatamente
. Isso transforma a integral em um polinômio em
.
Passo 5
Aplicando a substituição
e
, obtemos:
Agora vamos expandir o polinômio para facilitar a integração. Expansão:
Passo 6
Integramos termo a termo usando a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando ao polinômio
:
Calculando cada parcela:
Portanto,
Passo 7
Voltando à variável original usando
, substituímos
por
em cada termo:
Passo 8
Resumo final: a primitiva encontrada é
Se quiseres, dá para verificar derivando este resultado e confirmando que a derivada é
(essa verificação usa a regra da cadeia e da potência).