[Valor: 4,0] Calcular as seguintes integrais:
\int \frac{2 x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{2x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx.
Informações dadas que são relevantes:
\,2x+1 é o numerador e \,x^{3}-x^{2}-x+1 é o denominador (um polinómio de grau 3). Não há outras condições explícitas no enunciado (domínio, constantes etc.). A integral é uma integral indefinida, logo o resultado virá com uma constante C.

Passo 2

Escolha do método e fatoração do denominador (passo importante antes de aplicar qualquer técnica):
Como temos uma fração racional (polinómio sobre polinómio) e o grau do numerador é menor que o do denominador, o método natural é decompor em frações parciais. Para isso precisamos fatorar o denominador. Faço fatoração por agrupamento:
x^{3}-x^{2}-x+1 = (x^{3}-x^{2}) + (-x+1) = x^{2}(x-1) -1(x-1) = (x-1)(x^{2}-1).
E como x^{2}-1=(x-1)(x+1), temos
x^{3}-x^{2}-x+1 = (x-1)^{2}(x+1).

Passo 3

Definir a forma geral da decomposição em frações parciais para fatores lineares repetidos:
Quando o denominador tem um fator (x-1)^{2} (raiz repetida de multiplicidade 2) e outro fator simples (x+1), a decomposição tem a forma
\frac{2x+1}{(x-1)^{2}(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A, B e C são constantes a determinar. Explico rapidinho o porquê: para cada potência k do fator linear (x-a)^{k} devemos incluir termos \frac{\text{const}}{x-a},\frac{\text{const}}{(x-a)^{2}},\dots,\frac{\text{const}}{(x-a)^{k}}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x+1) obtemos a identidade polinomial
2x+1 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^{2}.

Passo 4

Expandir o lado direito e coletar coeficientes para comparar com o polinómio do lado esquerdo:
Primeiro expandimos cada termo:
A(x-1)(x+1)=A(x^{2}-1),
B(x+1)=Bx+B,
C(x-1)^{2}=C(x^{2}-2x+1).
Somando:
A(x^{2}-1)+Bx+B+C(x^{2}-2x+1) = (A+C)x^{2} + (B-2C)x + (-A+B+C).
A identidade deve valer para todo x, e o lado esquerdo é 2x+1, que pode ser visto como 0\cdot x^{2} + 2\cdot x + 1. Assim, comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] B - 2C = 2,\\[4pt] - A + B + C = 1. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para A\), \(B\) e \(C\), passo a passo: Da primeira equação \(A+C=0\) segue \[A = -C.
Substituo na terceira equação:
-(-C) + B + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C + B + C = 1 \quad\Rightarrow\quad B + 2C = 1.
Agora tenho duas equações lineares em B e C:
\begin{cases} B - 2C = 2,\\[4pt] B + 2C = 1. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira ou somando as duas, é mais fácil somar:
Somando: 2B = 3 \Rightarrow B = \dfrac{3}{2}.\] Substituindo em \(B + 2C = 1:
\dfrac{3}{2} + 2C = 1 \quad\Rightarrow\quad 2C = 1 - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad C = -\dfrac{1}{4}.
Finalmente A = -C = \dfrac{1}{4}.
Verificação rápida (opcional mas bom): A+C=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=0 ok; B-2C=\tfrac{3}{2}-2(-\tfrac{1}{4})=\tfrac{3}{2}+ \tfrac{1}{2}=2 ok; constantes: -A+B+C=-\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{4}=1 ok.]

Passo 6

Reescrever a integral usando os coeficientes encontrados:
Substituindo A=\tfrac{1}{4}, B=\tfrac{3}{2}, C=-\tfrac{1}{4} na decomposição, obtemos
\frac{2x+1}{(x-1)^{2}(x+1)} = \frac{1/4}{x-1} + \frac{3/2}{(x-1)^{2}} - \frac{1/4}{x+1}.
Portanto a integral se separa em termos mais simples:
\int \frac{2x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx = \int \left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1} + \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2}} - \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+1}\right)\,dx.

Passo 7

Integrar termo a termo, explicando a regra de integração usada:
Relembrando duas integrais básicas que usaremos:
  1. Para a constante, \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. (Porque derivada de \ln|x-a| é \tfrac{1}{x-a}.)
  2. Para n\neq -1, \displaystyle \int (x-a)^{n}\,dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1} + C. No caso n=-2 temos \int (x-a)^{-2}\,dx = \frac{(x-a)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x-a} + C.
Aplicando a estas fórmulas:
\int \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}\,dx = \frac{1}{4}\ln|x-1|,
\int \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^{2}}\,dx = \frac{3}{2}\left(-\frac{1}{x-1}\right) = -\frac{3}{2(x-1)},
\int -\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = -\frac{1}{4}\ln|x+1|.
Somando as partes:
\int \frac{2x+1}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx = \frac{1}{4}\ln|x-1| \;-\; \frac{3}{2(x-1)} \;-\; \frac{1}{4}\ln|x+1| \;+\; C.

Passo 8

Simplificar a forma combinando logaritmos (opcional, para deixar mais compacto):
Os termos logarítmicos podem ser agrupados:
\frac{1}{4}\ln|x-1| - \frac{1}{4}\ln|x+1| = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.
Logo a primitiva pode ser escrita como
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac{3}{2(x-1)} + C.
Bela! Conseguimos decompor e integrar peça por peça — agora você já pode fazer outras integrais racionais parecidas com a mesma estratégia. Força na prova, você vai mandar bem!

Resposta

\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac{3}{2(x-1)} + C

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