Informações dadas que são relevantes: \,2x+1 é o numerador e \,x^{3}-x^{2}-x+1 é o denominador (um polinómio de grau 3). Não há outras condições explícitas no enunciado (domínio, constantes etc.). A integral é uma integral indefinida, logo o resultado virá com uma constante C.
Passo 2
Escolha do método e fatoração do denominador (passo importante antes de aplicar qualquer técnica):
Como temos uma fração racional (polinómio sobre polinómio) e o grau do numerador é menor que o do denominador, o método natural é decompor em frações parciais. Para isso precisamos fatorar o denominador. Faço fatoração por agrupamento:
Definir a forma geral da decomposição em frações parciais para fatores lineares repetidos:
Quando o denominador tem um fator (x-1)^{2} (raiz repetida de multiplicidade 2) e outro fator simples (x+1), a decomposição tem a forma
onde A, B e C são constantes a determinar. Explico rapidinho o porquê: para cada potência k do fator linear (x-a)^{k} devemos incluir termos \frac{\text{const}}{x-a},\frac{\text{const}}{(x-a)^{2}},\dots,\frac{\text{const}}{(x-a)^{k}}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^{2}(x+1) obtemos a identidade polinomial
2x+1 = A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^{2}.
Passo 4
Expandir o lado direito e coletar coeficientes para comparar com o polinómio do lado esquerdo:
Primeiro expandimos cada termo:
A identidade deve valer para todo x, e o lado esquerdo é 2x+1, que pode ser visto como 0\cdot x^{2} + 2\cdot x + 1. Assim, comparando coeficientes obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] B - 2C = 2,\\[4pt] - A + B + C = 1. \end{cases}]
Passo 5
Resolver o sistema para A\), \(B\) e \(C\), passo a passo:
Da primeira equação \(A+C=0\) segue
\[A = -C.
Substituo na terceira equação:
-(-C) + B + C = 1 \quad\Rightarrow\quad C + B + C = 1 \quad\Rightarrow\quad B + 2C = 1.
Agora tenho duas equações lineares em B e C:
\begin{cases} B - 2C = 2,\\[4pt] B + 2C = 1. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira ou somando as duas, é mais fácil somar:
Somando: 2B = 3 \Rightarrow B = \dfrac{3}{2}.\]
Substituindo em \(B + 2C = 1:
Integrar termo a termo, explicando a regra de integração usada:
Relembrando duas integrais básicas que usaremos:
Para a constante, \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C. (Porque derivada de \ln|x-a| é \tfrac{1}{x-a}.)
Para n\neq -1, \displaystyle \int (x-a)^{n}\,dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1} + C. No caso n=-2 temos \int (x-a)^{-2}\,dx = \frac{(x-a)^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x-a} + C.
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac{3}{2(x-1)} + C.
Bela! Conseguimos decompor e integrar peça por peça — agora você já pode fazer outras integrais racionais parecidas com a mesma estratégia. Força na prova, você vai mandar bem!
Resposta
\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| - \frac{3}{2(x-1)} + C