Avalie as afirmações abaixo como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Para as falsas, apresente um contra-exemplo numérico que justifique sua resposta.
x^{4}+1>0, para todo x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede que eu avalie a seguinte afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F):
  • Afirmação: x^{4}+1>0, para todo x\in\mathbb{R}.
Não há outras informações além dessa única sentença para avaliar.

Passo 2

Vamos entender o que aparece ali: a expressão x^{4}+1 é um polinômio onde x^{4} é a quarta potência de x. Preciso decidir se, para qualquer número real x, essa expressão é estritamente maior que 0.
Propriedade básica usada (aula rápida): para qualquer número real y vale \;y^{2}\ge 0\;. Explicando por que isso é óbvio: se y\ge0 então y\cdot y\ge0; se y<0 então y\cdot y é produto de dois negativos e também é positivo; se y=0 o quadrado é 0. Portanto jamais se obtém número negativo ao elevar um real ao quadrado.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso: escrevemos
x^{4}=(x^{2})^{2}.
Pelo passo anterior, x^{2}\ge0 para todo x, e o quadrado de um número não-negativo também é não-negativo. Logo
x^{4}\ge0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 4

Agora some 1 aos dois lados da desigualdade x^{4}\ge0. Como adicionar 1 (número positivo) preserva e desloca a desigualdade para cima, obtemos
x^{4}+1\ge 0+1=1.
Portanto para todo x tem-se x^{4}+1\ge1.

Passo 5

Da desigualdade do passo anterior segue imediatamente que x^{4}+1 é sempre estritamente maior que 0, porque x^{4}+1\ge1>0. Observe que mesmo no caso extremo em que x^{4}=0 (que ocorre apenas quando x=0), a soma é 0+1=1>0. Logo não há nenhuma x que torne x^{4}+1\le0.

Passo 6

Exemplos numéricos para consolidar (pequenas contas passo a passo):
  • Para x=0: 0^{4}+1=0+1=1>0.
  • Para x=1: 1^{4}+1=1+1=2>0.
  • Para x=-1: (-1)^{4}+1=1+1=2>0.
  • Para x=\tfrac{1}{2}: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}+1=\tfrac{1}{16}+1=\tfrac{17}{16}>0.
Esses exemplos só ilustram; a prova geral já foi feita nos passos anteriores.

Resposta

V

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