Avalie as afirmações abaixo como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Para as falsas, apresente um contra-exemplo numérico que justifique sua resposta.
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede que eu avalie a seguinte afirmação como Verdadeira (V) ou Falsa (F):
- Afirmação:
, para todo .
Não há outras informações além dessa única sentença para avaliar.
Passo 2
Vamos entender o que aparece ali: a expressão
é um polinômio onde
é a quarta potência de
. Preciso decidir se, para qualquer número real
, essa expressão é estritamente maior que
.
Propriedade básica usada (aula rápida): para qualquer número real
vale
. Explicando por que isso é óbvio: se
então
; se
então
é produto de dois negativos e também é positivo; se
o quadrado é
. Portanto jamais se obtém número negativo ao elevar um real ao quadrado.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso: escrevemos
Pelo passo anterior,
para todo
, e o quadrado de um número não-negativo também é não-negativo. Logo
Passo 4
Agora some
aos dois lados da desigualdade
. Como adicionar
(número positivo) preserva e desloca a desigualdade para cima, obtemos
Portanto para todo
tem-se
.
Passo 5
Da desigualdade do passo anterior segue imediatamente que
é sempre estritamente maior que
, porque
. Observe que mesmo no caso extremo em que
(que ocorre apenas quando
), a soma é
. Logo não há nenhuma
que torne
.
Passo 6
Exemplos numéricos para consolidar (pequenas contas passo a passo):
- Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses exemplos só ilustram; a prova geral já foi feita nos passos anteriores.
Resposta
V