Avalie as afirmações abaixo como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Para as falsas, apresente um contra-exemplo numérico que justifique sua resposta.
Se 0<x<1 então x^{2}<x.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação e pede para classificá‑la como Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é:
  • Se \,0<x<1\, então \,x^{2}<x\,.
Informações relevantes fornecidas:
  • x é um número real tal que \,0<x<1.
  • É pedido determinar se a implicação \,0<x<1 \Rightarrow x^{2}<x\, é verdadeira ou falsa.
  • Se fosse falsa, seria necessário apresentar um contra‑exemplo numérico (um valor de x em (0,1) que viole \,x^{2}<x).

Passo 2

Lembrete útil sobre desigualdades (fórmula e ideia): se \,a<b\, e \,c>0\,, então multiplicando ambos os lados por c preserva‑se a desigualdade, ou seja \,ac<bc\,. Isso vale porque multiplicar por um número positivo não inverte a ordem. Esse é um dos fatos elementares sobre desigualdades que vamos usar.

Passo 3

Aplicando diretamente a regra do passo anterior. Da hipótese temos \,x<1\, e também sabemos que \,x>0\,. Como \,x>0\, podemos multiplicar a desigualdade \,x<1\, por \,x\, sem inverter a desigualdade. Fazendo isso obtemos:
x\cdot x < x\cdot 1.
Ou seja,
x^{2} < x.
Isso prova a afirmação de forma imediata e rigorosa.

Passo 4

Apresento uma prova alternativa — útil para treinar outro raciocínio: escreva a diferença
x^{2}-x = x(x-1).
Para \,0<x<1\, temos \,x>0\, e \,x-1<0\,. O produto de um número positivo com um número negativo é negativo, logo
x(x-1)<0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}-x<0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}<x.
É a mesma conclusão, vista por outra perspectiva (analisando sinais).

Passo 5

Exemplos numéricos para intuir e checar:
  • Tome \,x=\tfrac{1}{2}. Então \,\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}<\tfrac{1}{2}.
  • Tome \,x=0,8. Então \,0,8^{2}=0,64<0,8.
Observação rápida: nos extremos \,x=0\, e \,x=1\, temos igualdade ( 0^{2}=0 e 1^{2}=1), mas a hipótese é estrita \,0<x<1\,, então não consideramos os extremos.

Passo 6

Dica de prova rápida para a prova: sempre que tiver \,0<x<1\, e quiser comparar x^{2} com x, basta multiplicar \,x<1\, por x>0 para obter x^{2}<x. Alternativamente, factorizar x^{2}-x em x(x-1) e analisar os sinais é um caminho curto e seguro.

Resposta

V

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