Avalie as afirmações abaixo como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Para as falsas, apresente um contra-exemplo numérico que justifique sua resposta.
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá a afirmação e pede para classificá‑la como Verdadeira (V) ou Falsa (F). A afirmação é:
- Se
então .
Informações relevantes fornecidas:
-
é um número real tal que . - É pedido determinar se a implicação
é verdadeira ou falsa. - Se fosse falsa, seria necessário apresentar um contra‑exemplo numérico (um valor de
em que viole ).
Passo 2
Lembrete útil sobre desigualdades (fórmula e ideia): se
e
, então multiplicando ambos os lados por
preserva‑se a desigualdade, ou seja
. Isso vale porque multiplicar por um número positivo não inverte a ordem. Esse é um dos fatos elementares sobre desigualdades que vamos usar.
Passo 3
Aplicando diretamente a regra do passo anterior. Da hipótese temos
e também sabemos que
. Como
podemos multiplicar a desigualdade
por
sem inverter a desigualdade. Fazendo isso obtemos:
Ou seja,
Isso prova a afirmação de forma imediata e rigorosa.
Passo 4
Apresento uma prova alternativa — útil para treinar outro raciocínio: escreva a diferença
Para
temos
e
. O produto de um número positivo com um número negativo é negativo, logo
É a mesma conclusão, vista por outra perspectiva (analisando sinais).
Passo 5
Exemplos numéricos para intuir e checar:
- Tome
. Então . - Tome
. Então .
Observação rápida: nos extremos
e
temos igualdade (
e
), mas a hipótese é estrita
, então não consideramos os extremos.
Passo 6
Dica de prova rápida para a prova: sempre que tiver
e quiser comparar
com
, basta multiplicar
por
para obter
. Alternativamente, factorizar
em
e analisar os sinais é um caminho curto e seguro.
Resposta
V