Resolva a inequação linear abaixo e represente o conjunto solução na reta real em notação de intervalo:
3(x-2)-4(x+1) \leq 5-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação e representar o conjunto solução na reta real em notação de intervalo. A inequação dada é:
3(x-2)-4(x+1) \leq 5-2x
Informações relevantes:
  • É uma inequação linear em x.
  • Precisamos encontrar todos os x reais que satisfazem a desigualdade e escrever o resultado como um intervalo.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar duas ferramentas básicas que vamos usar:
  • Propriedade distributiva: para quaisquer números a,b,c,
a(b+c)=ab+ac.
Ela serve para eliminar parênteses.
  • Operações permitidas em inequações: pode-se somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados sem mudar a desigualdade; pode-se multiplicar ou dividir por um número positivo sem mudar o sentido; se multiplicar ou dividir por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Vou usar essas regras passo a passo.

Passo 3

Aplicar a propriedade distributiva nos dois produtos do lado esquerdo:
3(x-2)=3x-6, \qquad -4(x+1)=-4x-4.

Passo 4

Substituindo na inequação original obtemos:
(3x-6)+(-4x-4) \leq 5-2x.

Passo 5

Agora somamos os termos semelhantes no lado esquerdo. Juntando 3x com -4x e -6 com -4:
3x-4x-6-4 \leq 5-2x
-x-10 \leq 5-2x.

Passo 6

Queremos isolar x. Primeiro elimino o termo com x do lado direito somando 2x em ambos os lados (lembrando que somar o mesmo número em ambos os lados preserva a desigualdade):
-x-10+2x \leq 5-2x+2x
x-10 \leq 5.

Passo 7

Agora somo 10 em ambos os lados (isso também preserva a desigualdade) para isolar totalmente x:
x-10+10 \leq 5+10
x \leq 15.

Passo 8

Interpretação: a solução são todos os números reais menores ou iguais a 15. Posso checar rapidamente: para x=15 temos igualdade (verificação), e para x=16 a desigualdade não é satisfeita, então 16 não pertence ao conjunto solução.

Passo 9

Regra importante (aula rápida): se em algum passo fosse necessário multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, o sentido da desigualdade mudaria. Exemplo simples: a inequação -2x \geq 6. Dividindo por -2 (número negativo) invertemos o sinal e obtemos x \leq -3. No nosso problema não foi preciso fazer isso, pois todas as divisões foram por +1.

Resposta

(-\infty,\,15]

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