Resolva a inequação linear abaixo e represente o conjunto solução na reta real em notação de intervalo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação e representar o conjunto solução na reta real em notação de intervalo. A inequação dada é:
Informações relevantes:
- É uma inequação linear em
. - Precisamos encontrar todos os
reais que satisfazem a desigualdade e escrever o resultado como um intervalo.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar duas ferramentas básicas que vamos usar:
- Propriedade distributiva: para quaisquer números
,
Ela serve para eliminar parênteses.
- Operações permitidas em inequações: pode-se somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados sem mudar a desigualdade; pode-se multiplicar ou dividir por um número positivo sem mudar o sentido; se multiplicar ou dividir por um número negativo, o sentido da desigualdade se inverte. Vou usar essas regras passo a passo.
Passo 3
Aplicar a propriedade distributiva nos dois produtos do lado esquerdo:
Passo 4
Substituindo na inequação original obtemos:
Passo 5
Agora somamos os termos semelhantes no lado esquerdo. Juntando
com
e
com
:
Passo 6
Queremos isolar
. Primeiro elimino o termo com
do lado direito somando
em ambos os lados (lembrando que somar o mesmo número em ambos os lados preserva a desigualdade):
Passo 7
Agora somo
em ambos os lados (isso também preserva a desigualdade) para isolar totalmente
:
Passo 8
Interpretação: a solução são todos os números reais menores ou iguais a
. Posso checar rapidamente: para
temos igualdade (verificação), e para
a desigualdade não é satisfeita, então
não pertence ao conjunto solução.
Passo 9
Regra importante (aula rápida): se em algum passo fosse necessário multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo, o sentido da desigualdade mudaria. Exemplo simples: a inequação
. Dividindo por
(número negativo) invertemos o sinal e obtemos
. No nosso problema não foi preciso fazer isso, pois todas as divisões foram por
.