Avalie as afirmações abaixo como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Para as falsas, apresente um contra-exemplo numérico que justifique sua resposta.
Se
e
então
.
Se
Passo 1
O enunciado diz: "Se
e
então
".
O que é pedido: avaliar se essa afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Se for Falsa, apresentar um contra-exemplo numérico que justifique a resposta.
Informações dadas: e
.
Objetivo claro: decidir verdade/falsidade da implicação e, se falsa, mostrar números que a contradigam.
O que é pedido: avaliar se essa afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Se for Falsa, apresentar um contra-exemplo numérico que justifique a resposta.
Informações dadas:
Objetivo claro: decidir verdade/falsidade da implicação e, se falsa, mostrar números que a contradigam.
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade básica de desigualdades que vou usar e explicar em palavras simples.
Propriedade (adição): se então, para qualquer
, vale
. Isso acontece porque somar a mesma quantidade nos dois lados não altera a ordem.
Observação importante: saber que e
simultaneamente NÃO dá, em geral, uma regra direta para comparar
com
. Em outras palavras, duas quantidades serem menores que duas outras, separadamente, não garante a comparação cruzada entre as somas ou diferenças.
Propriedade (adição): se
Observação importante: saber que
Passo 3
Façamos manipulações elementares nas desigualdades dadas para ver o que se consegue deduzir.
A partir de , somando
em ambos os lados obtemos
A partir de
A partir de
, multiplicando por
(o que inverte a desigualdade) obtemos
Somando
a essa desigualdade dá
Agora temos duas informações:
As duas expressões
e
aparecem como números menores que
, mas isso NÃO fixa a ordem entre
e
. Ter
e
não implica nem
nem
; podem ocorrer todas as três possibilidades (menor, igual, maior). Logo, a dedução de que necessariamente
não segue apenas de
e
.
Passo 4
Para tornar isso cristalino, mostro contra-exemplos numéricos: um que contradiz a afirmação (mostrando que ela é falsa), e outros para ilustrar as possibilidades.
Contra-exemplo (mostra que a afirmação é Falsa): escolha
Então
pois
, e
pois
. Calcule:
Aqui
não é menor que
; na verdade
. Assim a afirmação "então
" é falsa neste caso concreto. Esse único contra-exemplo já basta para concluir que a afirmação geral é falsa.
Ilustração adicional (casos possíveis):
- Exemplo onde
: escolha . Então e , e . - Exemplo onde
: escolha . Então e , iguais.
Esses exemplos mostram que, dependendo dos valores, pode ocorrer
,
ou
. Não há uma regra universal que force
apenas a partir de
e
.
Passo 5
Conclusão didática curta: a operação de subtrair quantidades diferentes em cada lado quebra a comparação direta; por isso a afirmação é falsa no geral. Não confundir com a propriedade segura: subtrair a mesma quantidade dos dois lados preserva a desigualdade. Aqui os segundos termos são diferentes (
e
), então não há preservação garantida.
Resposta
F