Avalie as afirmações abaixo como Verdadeiras (V) ou Falsas (F). Para as falsas, apresente um contra-exemplo numérico que justifique sua resposta.
Se a<b e c<d então a-c<b-d.

Passo 1

O enunciado diz: "Se a<b e c<d então a-c<b-d".
O que é pedido: avaliar se essa afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Se for Falsa, apresentar um contra-exemplo numérico que justifique a resposta.
Informações dadas: a<b e c<d.
Objetivo claro: decidir verdade/falsidade da implicação e, se falsa, mostrar números que a contradigam.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica de desigualdades que vou usar e explicar em palavras simples.
Propriedade (adição): se x<y então, para qualquer z, vale x+z<y+z. Isso acontece porque somar a mesma quantidade nos dois lados não altera a ordem.
Observação importante: saber que x<y e u<v simultaneamente NÃO dá, em geral, uma regra direta para comparar x+u com y+v. Em outras palavras, duas quantidades serem menores que duas outras, separadamente, não garante a comparação cruzada entre as somas ou diferenças.

Passo 3

Façamos manipulações elementares nas desigualdades dadas para ver o que se consegue deduzir.
A partir de a<b, somando -c em ambos os lados obtemos
a-c < b-c.
A partir de c<d, multiplicando por -1 (o que inverte a desigualdade) obtemos
-c > -d.
Somando b a essa desigualdade dá
b-c > b-d.
Agora temos duas informações:
a-c < b-c \qquad\text{e}\qquad b-d < b-c.
As duas expressões a-c e b-d aparecem como números menores que b-c, mas isso NÃO fixa a ordem entre a-c e b-d. Ter x<b e y<b não implica nem x<y nem x>y; podem ocorrer todas as três possibilidades (menor, igual, maior). Logo, a dedução de que necessariamente a-c<b-d não segue apenas de a<b e c<d.

Passo 4

Para tornar isso cristalino, mostro contra-exemplos numéricos: um que contradiz a afirmação (mostrando que ela é falsa), e outros para ilustrar as possibilidades.
Contra-exemplo (mostra que a afirmação é Falsa): escolha
a=4,\quad b=5,\quad c=0,\quad d=10.
Então a<b pois 4<5, e c<d pois 0<10. Calcule:
a-c = 4-0 = 4, \qquad b-d = 5-10 = -5.
Aqui a-c = 4 não é menor que b-d = -5; na verdade 4 > -5. Assim a afirmação "então a-c<b-d" é falsa neste caso concreto. Esse único contra-exemplo já basta para concluir que a afirmação geral é falsa.
Ilustração adicional (casos possíveis):
  • Exemplo onde a-c<b-d: escolha a=1,\\ b=3,\\ c=4,\\ d=5. Então a-c=-3 e b-d=-2, e -3 < -2.
  • Exemplo onde a-c=b-d: escolha a=1,\\ b=2,\\ c=3,\\ d=4. Então a-c=-2 e b-d=-2, iguais.
Esses exemplos mostram que, dependendo dos valores, pode ocorrer a-c<b-d, a-c=b-d ou a-c>b-d. Não há uma regra universal que force a-c<b-d apenas a partir de a<b e c<d.

Passo 5

Conclusão didática curta: a operação de subtrair quantidades diferentes em cada lado quebra a comparação direta; por isso a afirmação é falsa no geral. Não confundir com a propriedade segura: subtrair a mesma quantidade dos dois lados preserva a desigualdade. Aqui os segundos termos são diferentes ( c e d), então não há preservação garantida.

Resposta

F

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