Avalie se cada sequência a seguir converge ou diverge.Caso convirja,encontre seu limite.
(a) a_{n}=\frac{3 n^{2}+2}{5 n^{2}-n+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n}=\frac{3n^{2}+2}{5n^{2}-n+1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo é cálculo de limite de sequência racional, e vamos precisar fatorar n^{2} em numerador e denominador e usar que termos de ordem inferior a n^{2} tendem a zero quando n\to\infty.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por n^{2}, obtendo
a_{n} =\frac{3+\frac{2}{n^{2}}}{5-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}.

Passo 3

Quando n\to\infty, temos \tfrac{2}{n^{2}}\to0, \tfrac{1}{n}\to0 e \tfrac{1}{n^{2}}\to0. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{3+0}{5-0+0} =\frac{3}{5}.

Resposta

A sequência converge e seu limite é \displaystyle \frac{3}{5}.

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