Avalie a convergência da integral:

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral1^+inftydxx^2
Estamos em um caso de integral sobre intervalo infinito e vamos usar o conceito de integral imprópria, representando-a como limite de integrais em intervalo finito, além de conhecer a antiderivada de x^-2.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite em que o ponto superior tende a infinito:
integral1^+inftydxx^2 =limAto+inftyintegral1^Adxx^2

Passo 3

Calculamos a antiderivada de . Sabemos que
logo uma primitiva é .

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo na integral entre 1 e A e depois fazemos Ato+infty:
integral1^Adxx^2 =l[-x^-1r]1^A =-1A-l(-1r) =1-1A
Tomando o limite,
limAto+inftyl(1-1Ar) =1-0 =1

Passo 5

Como o limite existe e é finito, a integral converge e seu valor é 1.

Resposta

A integral converge e vale 1.

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