Nos problemas 1-8, ache uma solução geral para a equação diferencial usando o método da variação de parâmetros.
y^prime prime-2 y^prime+y=t^-1 e^t

Passo 1

O problema pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + y = t^-1e^t,
que é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar o método da variação de parâmetros, que exige primeiro resolver a equação homogênea associada e encontrar duas soluções fundamentais.

Passo 2

Analisamos a equação homogênea
y'' - 2y' + y = 0
A equação característica é
r^2 - 2r + 1 = 0,
cuja única raiz dupla é r=1. Portanto, a solução geral homogênea é
yh(t) = C1e^t + C2,t e^t

Passo 3

Escolhemos as soluções fundamentais
y1(t) = e^t, y2(t) = t,e^t

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
W(t) = y1 & y2 [6pt] y1' & y2' = e^t & t e^t [3pt] e^t & (1+t)e^t = e^tcdot(1+t)e^t - e^tcdot t e^t = e^2t ]

Passo 5

As fórmulas para as derivadas das funções variáveis são
u1' = -f(t),y2(t)W(t), u2' = f(t),y1(t)W(t),
onde f(t) é o termo não homogêneo dividido pelo coeficiente de y'', isto é f(t)=t^-1e^t.

Passo 6

Substituindo em u1' e u2':
u1' = -t^-1e^tcdot t e^te^2t = -1, u2' = t^-1e^tcdot e^te^2t = t^-1

Passo 7

Integramos para obter u1 e u2 (tomando constantes de integração iguais a zero, pois só precisamos de uma particular):
u1(t) = integral (-1),dt = -t, u2(t) = integral t^-1,dt = lnlvert trvert
A solução particular é
yp(t) = u1(t),y1(t) + u2(t),y2(t) = -t,e^t + lnlvert trvert ,l(t,e^tr) = t,e^tl(lnlvert trvert -1r)

Passo 8

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e^t + C2,t,e^t + t,e^tl(lnlvert trvert -1r)

Resposta

boxedy(t) = C1e^t + C2,t,e^t + t,e^tl(lnlvert trvert -1r)

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