Avalie a convergência das sequências abaixo:
a_{n}=\frac{n^{2}}{2 n+1}-\frac{n^{2}}{2 n-1}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{n^{2}}{2n+1} \;-\;\frac{n^{2}}{2n-1}
e pede para avaliar sua convergência. O conteúdo usado aqui é limite de sequências definidas por expressões racionais em n. Vamos escrever as duas frações num único quociente, simplificar e então calcular o limite quando n\to\infty.

Passo 2

Colocamos as duas parcelas sobre um mesmo denominador:
a_{n} = \frac{n^{2}(2n-1) \;-\; n^{2}(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}.
No numerador:
n^{2}(2n-1) - n^{2}(2n+1) = 2n^{3} - n^{2} - 2n^{3} - n^{2} = -2n^{2}.
Portanto
a_{n} = \frac{-2n^{2}}{(2n+1)(2n-1)}.

Passo 3

Expandindo o denominador, temos
(2n+1)(2n-1) = 4n^{2} - 1,
logo
a_{n} = \frac{-2n^{2}}{4n^{2} - 1}.

Passo 4

Para obter o limite, dividimos numerador e denominador por n^{2}:
a_{n} = \frac{-2}{4 - \frac{1}{n^{2}}}.
À medida que n\to\infty, o termo \tfrac1{n^{2}} tende a zero.

Passo 5

Logo,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{-2}{4 - 0} = -\tfrac12.

Resposta

A sequência converge e seu limite é -\tfrac12.

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