Avalie a convergência das sequências abaixo:
b_{n}=\sqrt[n]{n}

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a convergência da sequência
b_{n} = \sqrt[n]{n}\,.
O conteúdo que vamos usar é limite de sequência e propriedades de logaritmo, em especial que \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.

Passo 2

Para estudar b_{n}, vamos tomar o logaritmo natural e definir
a_{n} = \ln\bigl(b_{n}\bigr) = \ln\bigl(n^{1/n}\bigr) = \frac{\ln n}{n}\,.
Se conseguirmos \lim_{n\to\infty}a_{n}, aí vemos \lim b_{n} = \exp\bigl(\lim a_{n}\bigr).

Passo 3

Analisamos
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}.
Como o numerador cresce como \ln n e o denominador cresce como n, que é muito mais rápido, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} = 0.

Passo 4

Voltando para b_{n}, como
a_{n}\to 0,
segue que
b_{n} = e^{a_{n}}\to e^{0} = 1.

Resposta

A sequência \bigl(b_{n}\bigr) converge, e seu limite é 1.

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