Avalie a convergência das sequências abaixo:
c_{n}=\left(1+\frac{2}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado define a sequência
c_{n} = \Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr)^{n}
e pede para avaliar sua convergência.
O conteúdo envolvido é o estudo do limite de sequências da forma (1 + a/n)^{n}, que costuma convergir para e^{a}. Para justificar isso de forma rigorosa, vamos usar a transformação pelo logaritmo.

Passo 2

Considere o logaritmo natural de c_{n}:
\ln c_{n} = n \,\ln\!\Bigl(1 + \frac{2}{n}\Bigr).
Como n\to\infty, o argumento de \ln vai a 1 e podemos usar a expansão
\ln\!\Bigl(1 + x\Bigr) = x - \tfrac{x^{2}}{2} + o(x^{2}),\quad x\to0.
Aqui x = 2/n, logo
\ln c_{n} = n\Bigl(\frac{2}{n} - \tfrac{1}{2}\,\frac{4}{n^{2}} + o\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)\Bigr) = 2 - \frac{2}{n} + o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr).
Portanto
\lim_{n\to\infty}\ln c_{n} = 2.

Passo 3

Como o logaritmo de c_{n} tende a 2, temos
\lim_{n\to\infty}c_{n} = \exp\bigl(\lim_{n\to\infty}\ln c_{n}\bigr) = e^{2}.
Logo a sequência converge.

Resposta

A sequência \{c_{n}\} é convergente e
\lim_{n\to\infty}c_{n} = e^{2}.

Exercícios relacionados