Avalie a derivada resolvida a seguir, caso o passo realizado imediatamente após o símbolo de implicação lógica ( Rightarrow ) esteja certo escrever correto caso não, escrever errado, apontar o(s) erro(s) e corrigir.
y^prime=(x^2x+1)^prime stackrel(1)Rightarrow y^prime=(x+1)^prime(x^2)-(x+1)(x^2)^prime(x+1)^2 stackrel(2)Rightarrow y^prime=1 cdot x^2-1 cdot(2 x)(x+1)^2 stackrel(3)Rightarrow y^prime=x^2-2 xx^2+1
(3)

Passo 1

O exercício pede para verificar se cada passo da diferenciação de y = x^2x+1 está correto, aplicando a regra do quociente e checando substituições.

Passo 2

Analisando o passo (1): foi usada a regra do quociente que diz que (u/v)' = u'v - uv'v^2. Aqui u = x^2 e v = x+1, logo
y' = (x+1)',(x^2) - (x+1),(x^2)'(x+1)^2
é exatamente o que aparece no passo (1). Portanto, passo (1) está correto.

Passo 3

Analisando o passo (2): substituíram (x+1)' = 1 e (x^2)' = 2x, ficando
y' = 1 cdot x^2 - (x+1)cdot 2x(x+1)^2
Porém eles escreveram “ 1cdot x^2 - 1cdot(2x)”, ignorando o fator x+1 no segundo termo. Mesmo assim, se a intenção era derivar apenas os fatores, o correto seria
y' = x^2 - 2x(x+1)(x+1)^2
Ou seja, o passo (2) também está errado por não manter o x+1 multiplicando o 2x.

Passo 4

Analisando o passo (3): além do erro anterior, eles simplificaram o denominador como x^2+1, o que está incorreto, pois
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1.
A forma correta de continuar depois do passo (1) e (2) é
y' = x^2 - 2x(x+1)(x+1)^2 = x^2 -2x^2 -2x(x+1)^2 = -x^2 -2x(x+1)^2 = -x(x+2)(x+1)^2

Resposta

(1) correto (2) errado: faltou multiplicar 2x por x+1 no numerador. (3) errado: simplificação de (x+1)^2 está incorreta. Correção geral: y' = -x(x+2)(x+1)^2

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