Exercs. 9-14: Use a série de Maclaurin obtida nesta seção para achar uma série de Maclaurin para
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin para a função $ f(x) = x \sin(3x) $. Para isso, vamos usar a série de Maclaurin da função seno, que é uma ferramenta importante no cálculo para aproximar funções em torno de zero. Vamos precisar lembrar como é a série de Maclaurin para $ \sin(x) $ e fazer algumas substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a série de Maclaurin para $ \sin(x) $. A série de Maclaurin para $ \sin(x) $ é dada por:
Isso significa que a função seno pode ser escrita como uma soma infinita de termos envolvendo potências ímpares de $ x $ e fatoriais.
Passo 3
Agora, como a nossa função é $ \sin(3x) $ e não $ \sin(x) $, vamos substituir $ x $ por $ 3x $ na série de Maclaurin do seno. Assim, temos:
Simplificando, fica:
Passo 4
Nossa função original é $ f(x) = x \sin(3x) $. Agora que temos a série de $ \sin(3x) $, vamos multiplicar cada termo da série por $ x $:
Multiplicando $ x $ pela potência de $ x $, temos:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão ajustando o expoente de $ x $. Observe que $ x^{2n+2} $ pode ser escrito como $ x^{2(n+1)} $. Para facilitar, podemos reindexar a soma mudando a variável de soma de $ n $ para $ m = n + 1 $. Assim, a série fica:
Simplificando os índices, temos:
Mas para deixar a série começando de $ n = 0 $, podemos ajustar novamente:
Resposta
Portanto, a série de Maclaurin para $ f(x) = x \sin(3x) $ é: