Calcule, caso existam, os seguintes limites:
lim x 1 raiz2-raizx+1raiz5 x+4-3

Passo 1

O problema pede para calcular o limite abaixo quando existe:
limxto 1 raiz2 - raizx+1raiz5x+4 - 3
Conteúdo: limites de funções que geram indeterminação 0/0 e uso de racionalização com conjugados.

Passo 2

Primeiro, verificamos a forma indeterminada fazendo a substituição direta x=1:
No numerador: raiz2 - raiz1+1 = raiz2 - raiz2 = 0.
No denominador: raiz5cdot1 + 4 - 3 = raiz9 - 3 = 3 - 3 = 0.
Portanto temos 0/0.

Passo 3

Agora vamos racionalizar tanto o numerador quanto o denominador usando seus conjugados:
Racionalizando o numerador:
raiz2 - raizx+1 = (raiz2 - raizx+1)(raiz2 + raizx+1)raiz2 + raizx+1 = 2 - (x+1)raiz2 + raizx+1 = 1 - xraiz2 + raizx+1
Racionalizando o denominador:
raiz5x+4 - 3 = (raiz5x+4 - 3)(raiz5x+4 + 3)raiz5x+4 + 3 = 5x +4 - 9raiz5x+4 + 3 = 5(x - 1)raiz5x+4 + 3

Passo 4

Substituímos essas expressões no limite e simplificamos:
raiz2 - raizx+1raiz5x+4 - 3 = tfrac1 - xraiz2 + raizx+1tfrac5(x - 1)raiz5x+4 + 3 = 1 - xraiz2 + raizx+1 cdot raiz5x+4 + 35(x - 1)
Note que 1 - x = -(x - 1), então cancelamos x-1 e obtemos
-raiz5x+4 + 35l(raiz2 + raizx+1r)

Passo 5

Por fim, basta fazer x to 1 na expressão simplificada:
No numerador: raiz5cdot1 + 4 + 3 = 3 + 3 = 6.
No denominador: 5l(raiz2 + raiz2r) = 5 cdot 2raiz2 = 10raiz2.
Logo o limite vale

Passo 6

simplificando:

Passo 7

[-\frac{6}{10\sqrt{2}} = -\frac{3}{5\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}}{10}.

Resposta

-tfrac3raiz210

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