Avalie o erro cometido quando se utiliza os respectivos polinômios de Taylor de ordem 1, como aproximação de cada uma das funções do exercício anterior nos pontos dados, se:
|x-3| <= 0,01 e |y-4| <= 0,01
f(x, y)=raizx^2+y^2,(x0, y0)=(3,4);

Passo 1

O exercício pede para aproximar a função f(x,y)=\sqrt{x2+y2} por seu polinômio de Taylor de ordem 1 em (x₀,y₀)=(3,4) e estimar o erro quando |x−3|≤0,01 e |y−4|≤0,01. Vamos usar o Teorema do Resto de Taylor com as derivadas de segunda ordem para obter essa estimativa.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o resto de ordem 1 em valor (x,y) pode ser estimado por R₂ ≤ \tfrac12 [f_{xx}(ξ,η) (Δx)^2 + 2|f_{xy}(ξ,η)| |Δx Δy| + f_{yy}(ξ,η) (Δy)^2], onde (ξ,η) está entre (3,4) e (x,y).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y):
fx(x,y)=xraizx^2+y^2, fy(x,y)=yraizx^2+y^2,
fxx(x,y)=y^2(x^2+y^2)^3/2, fyy(x,y)=x^2(x^2+y^2)^3/2, fxy(x,y)=-x y(x^2+y^2)^3/2

Passo 4

Agora, no retângulo |x−3|≤0,01, |y−4|≤0,01, o menor valor de r=\sqrt{x2+y2} ocorre em x=2,99, y=3,99, dando r_min≈4{,}986. Assim podemos majorar:
fxx≤(4,01)^2(4,986)^3≈0,13, fyy≤(3,01)^2(4,986)^3≈0,073, |fxy|≤3,01·4,01(4,986)^3≈0,097

Passo 5

Como Δx=x−3 e Δy=y−4 satisfazem |Δx|≤0,01 e |Δy|≤0,01, substituímos na fórmula de R₂:
R₂≤tfrac12l(0,13·(0,01)^2+2·0,097·(0,01)^2+0,073·(0,01)^2r)

Passo 6

Finalmente, calculamos esse valor:
R₂≤tfrac12l((0,13+0,194+0,073)·10^-4r)=tfrac12·0,397·10^-4approx1,99times10^-5

Resposta

O erro máximo cometido ao usar o polinômio de Taylor de ordem 1 é aproximadamente 2,0×10⁻⁵.

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