Avalie o erro cometido quando se utiliza os respectivos polinômios de Taylor de ordem 1, como aproximação de cada uma das funções do exercício anterior nos pontos dados, se:
e
;
Passo 1
O exercício pede para aproximar a função f(x,y)=\sqrt{x2+y2} por seu polinômio de Taylor de ordem 1 em (x₀,y₀)=(3,4) e estimar o erro quando |x−3|≤0,01 e |y−4|≤0,01. Vamos usar o Teorema do Resto de Taylor com as derivadas de segunda ordem para obter essa estimativa.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o resto de ordem 1 em valor (x,y) pode ser estimado por R₂ ≤ \tfrac12 [f_{xx}(ξ,η) (Δx)^2 + 2|f_{xy}(ξ,η)| |Δx Δy| + f_{yy}(ξ,η) (Δy)^2], onde (ξ,η) está entre (3,4) e (x,y).
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem de f(x,y):
Passo 4
Agora, no retângulo |x−3|≤0,01, |y−4|≤0,01, o menor valor de r=\sqrt{x2+y2} ocorre em x=2,99, y=3,99, dando r_min≈4{,}986. Assim podemos majorar:
Passo 5
Como Δx=x−3 e Δy=y−4 satisfazem |Δx|≤0,01 e |Δy|≤0,01, substituímos na fórmula de R₂:
Passo 6
Finalmente, calculamos esse valor:
Resposta
O erro máximo cometido ao usar o polinômio de Taylor de ordem 1 é aproximadamente 2,0×10⁻⁵.