Seja f(x, y)=ln (x+y).
Mostre que para todo x in R^2, com x+y>1, tem-se
|ln (x+y)-(x+y-1)|<12(x+y-1)^2

Passo 1

Estamos estudando a função de duas variáveis f(x,y)=ln(x+y) e queremos mostrar que, para todo par (x,y) com x+y>1, vale a desigualdade |ln(x+y) - (x+y-1)| < tfrac12( x+y-1)^2. Vamos usar expansão tipo Taylor ou representação integral de ln para obter o resto.

Passo 2

Colocamos t=x+y>1 e definimos u=t-1>0. Então ln(x+y)=ln(1+u) e a diferença que nos interessa fica ln(1+u)-(u). A ideia é escrever ln(1+u) como integral para controlar o termo de resto.

Passo 3

Usamos a fórmula ln(1+u)= integral0^u11+s,ds. Logo,
ln(1+u)-u=integral0^ul(11+s-1r)ds=integral0^u -s1+s,ds=-integral0^us1+s,ds

Passo 4

Tomando valor absoluto e estimando o integrando por t>0, temos
|ln(1+u)-u|=integral0^us1+s,ds

Passo 5

Voltando à variável original, u=x+y-1, concluímos que |ln(x+y)-(x+y-1)|< tfrac12(x+y-1)^2, como queríamos.

Resposta

|ln(x+y)-(x+y-1)|<\frac12(x+y-1)^2

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