Seja
.
Mostre que para todo
, tem-se
Mostre que para todo
Passo 1
Estamos estudando a função de duas variáveis f(x,y)=ln(x+y) e queremos mostrar que, para todo par (x,y) com x+y>1, vale a desigualdade |ln(x+y) - (x+y-1)| <
. Vamos usar expansão tipo Taylor ou representação integral de ln para obter o resto.
Passo 2
Colocamos t=x+y>1 e definimos u=t-1>0. Então ln(x+y)=ln(1+u) e a diferença que nos interessa fica ln(1+u)-(u). A ideia é escrever ln(1+u) como integral para controlar o termo de resto.
Passo 3
Usamos a fórmula ln(1+u)=
. Logo,
Passo 4
Tomando valor absoluto e estimando o integrando por t>0, temos
Passo 5
Voltando à variável original, u=x+y-1, concluímos que |ln(x+y)-(x+y-1)|<
, como queríamos.
Resposta
|ln(x+y)-(x+y-1)|<\frac12(x+y-1)^2