Use a Fórmula de Taylor para f(x, y) na origem, para encontrar aproximações quadráticas de f próximo da origem. Estime os erros de aproximação, se |x| <= 0,1 e |y| <= 0,1 em cada item.
f(x, y)=cos x cos y;

Passo 1

O enunciado pede a aproximação quadrática de f(x,y)=cos x cos y em torno da origem usando a fórmula de Taylor de segunda ordem, além de estimar o erro quando |x|≤0,1 e |y|≤0,1. Vamos precisar das derivadas parciais de f até segunda ordem e do termo de resto de ordem três.

Passo 2

A fórmula de Taylor de segunda ordem para uma função de duas variáveis em (0,0) é dada por P₂(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+½[f_{xx}(0,0)x²+2f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)y²], com resto R₂ de ordem três.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f(x,y)=cos x cos y e as avaliamos em (0,0):
fx(x,y)=-sin xcos y, fy(x,y)=-cos xsin y,
fxx(x,y)=-cos xcos y, fxy(x,y)=sin xsin y, fyy(x,y)=-cos xcos y
Em (0,0):
f(0,0)=1, fx(0,0)=0, fy(0,0)=0,
fxx(0,0)=-1, fxy(0,0)=0, fyy(0,0)=-1

Passo 4

Substituindo na fórmula de Taylor de ordem 2, obtemos a aproximação quadrática
P2(x,y)=1+0+0+tfrac12l((-1)x^2+2cdot0cdot x y+(-1)y^2r) =1-tfrac12(x^2+y^2)

Passo 5

Para estimar o erro R₂, note que todas as derivadas de terceira ordem de f são combinações de senos e cossenos, logo em módulo no máximo 1. Pelo Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange em duas variáveis,
|R2(x,y)|<= M3!l(|x|+|y|r)^3,
onde M=1 e |x|+|y|≤0,2. Assim,
|R2(x,y)|<= 16(0,2)^3=0,0086approx0,00133

Resposta

A aproximação quadrática é P₂(x,y)=1-½(x²+y²) e, para |x|,|y|≤0,1, o erro satisfaz |R₂(x,y)|≤0,00133.

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