Use a Fórmula de Taylor para
na origem, para encontrar aproximações quadráticas de
próximo da origem. Estime os erros de aproximação, se
e
em cada item.
;
Passo 1
O enunciado pede a aproximação quadrática de f(x,y)=cos x cos y em torno da origem usando a fórmula de Taylor de segunda ordem, além de estimar o erro quando |x|≤0,1 e |y|≤0,1. Vamos precisar das derivadas parciais de f até segunda ordem e do termo de resto de ordem três.
Passo 2
A fórmula de Taylor de segunda ordem para uma função de duas variáveis em (0,0) é dada por P₂(x,y)=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y+½[f_{xx}(0,0)x²+2f_{xy}(0,0)xy+f_{yy}(0,0)y²], com resto R₂ de ordem três.
Passo 3
Calculamos as derivadas de f(x,y)=cos x cos y e as avaliamos em (0,0):
Em (0,0):
Passo 4
Substituindo na fórmula de Taylor de ordem 2, obtemos a aproximação quadrática
Passo 5
Para estimar o erro R₂, note que todas as derivadas de terceira ordem de f são combinações de senos e cossenos, logo em módulo no máximo 1. Pelo Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange em duas variáveis,
onde M=1 e |x|+|y|≤0,2. Assim,
Resposta
A aproximação quadrática é P₂(x,y)=1-½(x²+y²) e, para |x|,|y|≤0,1, o erro satisfaz |R₂(x,y)|≤0,00133.