Use a Fórmula de Taylor para f(x, y) na origem, para encontrar aproximações quadráticas de f próximo da origem. Estime os erros de aproximação, se |x| <= 0,1 e |y| <= 0,1 em cada item.
f(x, y)=x sen x+y sen y,

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x
sen
x+y
sen
y e queremos sua aproximação de Taylor de ordem 2 em torno da origem. Para isso vamos usar que f é soma de duas funções univariadas g(t)=t
sen
t, aplicando o polinômio de Taylor até termos quadráticos e estimando o resto em |x|,|y|≤0,1.

Passo 2

Definimos g(t)=t
sen
t. Calculamos as derivadas até a quarta ordem:
g'(t)=sin t+tcos t,
g''(t)=2cos t -tsin t,
g'''(t)=-3sin t -tcos t,
g^(4)(t)=-4cos t +tsin t.

Passo 3

Em t=0: g(0)=0, g’(0)=0, g’’(0)=2, g’’’(0)=0. Logo o polinômio de Taylor de ordem 2 para g é
P2(t)=g(0)+g'(0)t+g''(0)2t^2= t^2

Passo 4

A expressão completa de Taylor com resto de Lagrange diz
g(t)=P2(t)+Rg(t), Rg(t)=g^(4)(xi)4!t^4
para algum xi entre 0 e t. Como |t|≤0,1 temos |g^{(4)}(\xi)|=| -4\cos\xi+\xi\sin\xi|≤4+0,1=4,1.

Passo 5

Como f(x,y)=g(x)+g(y), o polinômio de Taylor de f de ordem 2 é
Q(x,y)=P2(x)+P2(y)=x^2+y^2

Passo 6

Para estimar o erro usamos |R_g(t)|≤M|t|^4/24 com M=4,1 e |t|≤0,1, obtendo
|Rg(t)|≤4,1,(0,1)^424approx1,71times10^-5

Passo 7

Então o erro total em f é
|f(x,y)-Q(x,y)|≤|Rg(x)|+|Rg(y)|≤2times1,71times10^-5approx3,42times10^-5

Resposta

A aproximação quadrática de f em torno da origem é Q(x,y)=x2+y2 e o erro satisfaz |f(x,y)-Q(x,y)|≲3,5×10^{-5} para |x|,|y|≤0,1.

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