Use a Fórmula de Taylor para
na origem, para encontrar aproximações quadráticas de
próximo da origem. Estime os erros de aproximação, se
e
em cada item.
,
Passo 1
Temos a função f(x,y)=x
sen
x+y
sen
y e queremos sua aproximação de Taylor de ordem 2 em torno da origem. Para isso vamos usar que f é soma de duas funções univariadas g(t)=t
sen
t, aplicando o polinômio de Taylor até termos quadráticos e estimando o resto em |x|,|y|≤0,1.
sen
x+y
sen
y e queremos sua aproximação de Taylor de ordem 2 em torno da origem. Para isso vamos usar que f é soma de duas funções univariadas g(t)=t
sen
t, aplicando o polinômio de Taylor até termos quadráticos e estimando o resto em |x|,|y|≤0,1.
Passo 2
Definimos g(t)=t
sen
t. Calculamos as derivadas até a quarta ordem:
,
,
,
.
sen
t. Calculamos as derivadas até a quarta ordem:
Passo 3
Em t=0: g(0)=0, g’(0)=0, g’’(0)=2, g’’’(0)=0. Logo o polinômio de Taylor de ordem 2 para g é
Passo 4
A expressão completa de Taylor com resto de Lagrange diz
para algum
Passo 5
Como f(x,y)=g(x)+g(y), o polinômio de Taylor de f de ordem 2 é
Passo 6
Para estimar o erro usamos |R_g(t)|≤M|t|^4/24 com M=4,1 e |t|≤0,1, obtendo
Passo 7
Então o erro total em f é
Resposta
A aproximação quadrática de f em torno da origem é Q(x,y)=x2+y2 e o erro satisfaz |f(x,y)-Q(x,y)|≲3,5×10^{-5} para |x|,|y|≤0,1.