1. Avalie \int C F \cdot \operatorname{dr} para F(x, y)=(y, x) e C : o segmento de reta de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Vetor campo: F(x,y) = (y, x).
  • Curva C: o segmento de reta que vai de (0,0) a (1,1), orientado de (0,0) para (1,1).
  • Pedido: calcular a integral de linha
\int_C F\cdot \mathrm{d}r.

Passo 2

Fórmula útil (a que vamos aplicar): se uma curva C for parametrizada por \displaystyle r(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], então a integral de linha do campo F=(P,Q) ao longo de C é
\int_C F\cdot \mathrm{d}r=\int_a^b F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)\,\mathrm{d}t=\int_a^b \big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,\mathrm{d}t.
Explicando devagar: r(t) dá um ponto na curva para cada t; r'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor velocidade (pequena variação em x e y); o produto escalar F\big(r(t)\big)\cdot r'(t) mede quanto o campo contribui ao longo da direção da curva naquele instante. Produto escalar em coordenadas: (a,b)\cdot(c,d)=ac+bd.

Passo 3

Parametrizamos o segmento de reta de (0,0) a (1,1). A forma mais direta é
r(t)=(t,t),\qquad t\in[0,1],
pois em t=0 temos (0,0) e em t=1 temos (1,1). Derivando,
r'(t)=(1,1).

Passo 4

Avaliaremos F ao longo da parametrização: como F(x,y)=(y,x), substituindo x(t)=t e y(t)=t obtemos
F\big(r(t)\big)=(t,t).
Agora o produto escalar com r'(t) é
F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)=(t,t)\cdot(1,1)=t\cdot1+t\cdot1=2t.

Passo 5

A integral de linha torna-se uma integral em t:
\int_C F\cdot \mathrm{d}r=\int_0^1 2t\,\mathrm{d}t.
A primitiva de 2t é t^2, logo
\int_0^1 2t\,\mathrm{d}t=\big[t^2\big]_0^1=1-0=1.

Passo 6

Comentário curto (uma alternativa rápida que às vezes ajuda na prova): escrevendo F\cdot \mathrm{d}r = y\,\mathrm{d}x + x\,\mathrm{d}y e lembrando que na reta x=y temos \mathrm{d}x=\mathrm{d}y, obtemos F\cdot \mathrm{d}r = 2x\,\mathrm{d}x e integrando x de 0 a 1 dá também \int_0^1 2x\,\mathrm{d}x=1. Essa é só uma verificação alternativa.

Resposta

1

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