- Avalie
para
e
: o segmento de reta de
a
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Vetor campo:
. - Curva
: o segmento de reta que vai de a , orientado de para . - Pedido: calcular a integral de linha
Passo 2
Fórmula útil (a que vamos aplicar): se uma curva
for parametrizada por
,
, então a integral de linha do campo
ao longo de
é
Explicando devagar:
dá um ponto na curva para cada
;
é o vetor velocidade (pequena variação em
e
); o produto escalar
mede quanto o campo contribui ao longo da direção da curva naquele instante. Produto escalar em coordenadas:
.
Passo 3
Parametrizamos o segmento de reta de
a
. A forma mais direta é
pois em
temos
e em
temos
. Derivando,
Passo 4
Avaliaremos
ao longo da parametrização: como
, substituindo
e
obtemos
Agora o produto escalar com
é
Passo 5
A integral de linha torna-se uma integral em
:
A primitiva de
é
, logo
Passo 6
Comentário curto (uma alternativa rápida que às vezes ajuda na prova): escrevendo
e lembrando que na reta
temos
, obtemos
e integrando
de
a
dá também
. Essa é só uma verificação alternativa.