- Determine
dr para
ao longo do arco de circunferência unitária no primeiro quadrante,
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a campo de vetores e a curva são dadas. Informações fornecidas:
- O campo vetorial é
. - A curva
é o arco da circunferência unitária no primeiro quadrante, parametrizada por para . - A orientação da curva é a usual dada pelo parâmetro
que cresce de até .
A pergunta é: calcular numericamente.
Passo 2
Apresento a fórmula que vamos usar (e explico o que cada símbolo significa). Se uma curva
é parametrizada por
para
em
, e
é um campo vetorial, então a integral de linha é
Aqui:
-
é o vetor avaliado nas coordenadas da curva, ou seja substituímos e . -
é o vetor velocidade (a derivada da parametrização). - O ponto
significa produto escalar (dot product) entre os dois vetores, que produz uma função escalar de que integramos em de a .
Passo 3
Agora calculo explicitamente
. A parametrização é
. Derivando componente a componente:
Expliquei: a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 4
Calculo
substituindo
e
em
:
Repare que, para esta parametrização,
tem exatamente as mesmas componentes de
.
Passo 5
Faço o produto escalar
. Usando as componentes encontradas:
Agora simplifico cada termo:
e
.
Passo 6
Uso a identidade trigonométrica fundamental
. Assim:
Expliquei: essa identidade vale para todo
, portanto o integrando ficou a função constante
.
Passo 7
Agora integro de
até
:
Mostrei o passo da integração: a primitiva de
é
, e avaliamos nos limites.
Passo 8
Comentário final curto e motivador: deu um resultado bonito
. Se quiser, dá para verificar por outra via (por exemplo usar o Teorema de Green sobre o setor de círculo) e chega-se ao mesmo resultado — isso é uma boa confiança de que o cálculo está correto.