1. Determine \int C F \cdot dr para F(x, y)=(-y, x) ao longo do arco de circunferência unitária no primeiro quadrante, \mathrm{r}(\mathrm{t})=(\cos \mathrm{t}, \sin \mathrm{t}), 0 \leq \mathrm{t} \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \int_C F\cdot dr onde a campo de vetores e a curva são dadas. Informações fornecidas:
  • O campo vetorial é F(x,y)=(-y,\;x).
  • A curva C é o arco da circunferência unitária no primeiro quadrante, parametrizada por \displaystyle r(t)=(\cos t,\;\sin t) para 0\le t\le \pi/2.
  • A orientação da curva é a usual dada pelo parâmetro t que cresce de 0 até \pi/2.
    A pergunta é: calcular numericamente \displaystyle \int_C F\cdot dr.

Passo 2

Apresento a fórmula que vamos usar (e explico o que cada símbolo significa). Se uma curva C é parametrizada por \displaystyle r(t)=(x(t),y(t)) para t em [a,b], e F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) é um campo vetorial, então a integral de linha é
\int_C F\cdot dr = \int_a^b F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)\,dt.
Aqui:
  • F\big(r(t)\big) é o vetor F avaliado nas coordenadas da curva, ou seja substituímos x=x(t) e y=y(t).
  • r'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor velocidade (a derivada da parametrização).
  • O ponto \cdot significa produto escalar (dot product) entre os dois vetores, que produz uma função escalar de t que integramos em t de a a b.

Passo 3

Agora calculo explicitamente r'(t). A parametrização é \displaystyle r(t)=(\cos t,\;\sin t). Derivando componente a componente:
r'(t)=\big(\,(\cos t)'\,,\;(\sin t)'\,\big)=(-\sin t,\;\cos t).
Expliquei: a derivada de \cos t é -\sin t e a de \sin t é \cos t.

Passo 4

Calculo F\big(r(t)\big) substituindo x=\cos t e y=\sin t em F(x,y)=(-y,\;x):
F\big(r(t)\big)=(-\sin t,\;\cos t).
Repare que, para esta parametrização, F(r(t)) tem exatamente as mesmas componentes de r'(t).

Passo 5

Faço o produto escalar F\big(r(t)\big)\cdot r'(t). Usando as componentes encontradas:
F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)=(-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t).
Agora simplifico cada termo: (-\sin t)(-\sin t)=\sin^2 t e (\cos t)(\cos t)=\cos^2 t.

Passo 6

Uso a identidade trigonométrica fundamental \sin^2 t+\cos^2 t=1. Assim:
F\big(r(t)\big)\cdot r'(t)=\sin^2 t+\cos^2 t=1.
Expliquei: essa identidade vale para todo t, portanto o integrando ficou a função constante 1.

Passo 7

Agora integro de t=0 até t=\pi/2:
\int_C F\cdot dr = \int_{0}^{\pi/2} 1\; dt = \Big[t\Big]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.
Mostrei o passo da integração: a primitiva de 1 é t, e avaliamos nos limites.

Passo 8

Comentário final curto e motivador: deu um resultado bonito \pi/2. Se quiser, dá para verificar por outra via (por exemplo usar o Teorema de Green sobre o setor de círculo) e chega-se ao mesmo resultado — isso é uma boa confiança de que o cálculo está correto.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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