Calcule a integral de linha \int C F \cdot dr para F(x, y)=(x, y) ao longo da curva C: r(t)= \left(\mathrm{t}, \mathrm{t}^{2}\right), 0 \leq \mathrm{t} \leq 1.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
Pede-se calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} F\cdot dr.
O campo vetorial é F(x,y)=\bigl(x,y\bigr).
A curva C é dada pela parametrização \displaystyle r(t)=\bigl(t,t^{2}\bigr) com 0\le t\le 1.
Portanto, precisamos computar a integral de linha de F ao longo da curva parametrizada por r(t) entre t=0 e t=1.
Passo 2
Fórmula básica e ideia: quando uma curva é parametrizada por r(t), a diferencial de posição é dr = r'(t)\,dt. A integral de linha do campo F ao longo de C passa a ser uma integral em t:
\int_{C} F\cdot dr = \int_{a}^{b} F\bigl(r(t)\bigr)\cdot r'(t)\,dt.
Explicando essa fórmula com calma: r(t) dá as coordenadas (x,y) em função de t. Substituímos x e y por essas funções em F para obter F(r(t)). O produto escalar F(r(t))\cdot r'(t) é então uma função de t que integrarmos entre os limites a e b (aqui 0 e 1).
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização: r(t)=\bigl(t,t^{2}\bigr). Derivando componente a componente obtemos
r'(t)=\bigl(1,2t\bigr).
Isso significa que dr = \bigl(1,2t\bigr)\,dt.
Passo 4
Avaliar o campo ao longo da curva: substituir x=t e y=t^{2} em F(x,y)=\bigl(x,y\bigr). Assim
(Verificação alternativa — interpretação útil para prova) Observação: o campo F(x,y)=\bigl(x,y\bigr) é gradiente de uma função potencial \displaystyle \varphi(x,y)=\frac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) porque \nabla\varphi=(x,y)=F. Para campos conservativos a integral de linha depende só dos pontos inicial e final; aqui r(0)=(0,0) e r(1)=(1,1), então