Avalie as integrais abaixo: integral1^4 raiz2+raizxraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de de 1 a 4. Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com técnicas de substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar usar uma substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que temos t = raizx tanto no numerador quanto no denominador. Para facilitar, vamos fazer uma substituição.
Vamos definir:
x = t^2
Então, elevando ambos os lados ao quadrado:
dx = 2t , dt
Agora, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, vamos substituir todas as partes da integral original com essas novas expressões em termos de t = raiz1 = 1 . Além disso, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição.
Quando t = raiz4 = 2 :
integral1^4 raiz2 + raizxraizx , dx = integral1^2 raiz2 + tt cdot 2t , dt
Quando :
Substituindo na integral:

Passo 4

Simplificando a expressão:
raiz2 + tt cdot 2t = 2raiz2 + t
Então, a integral fica:
2 integral1^2 raiz2 + t , dt

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral u = 2 + t . Para isso, faremos outra substituição:
Vamos definir:
du = dt
Então, derivando:
integral raizu , du
Substituindo na integral:

Passo 6

A integral de integral raizu , du = 23 u^3/2 + C em relação a 23 (2 + t)^3/2 + C é:
onde é a constante de integração.
Voltando à variável original:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2 para 2 [ 23 (2 + t)^3/2 ]1^2 :
2 cdot 23 [ (2 + 2)^3/2 - (2 + 1)^3/2 ]
Calculando:
= 43 [ 4^3/2 - 3^3/2 ]

Passo 8

Calculando os expoentes:
4^3/2 = raiz4^3 = 2^3 = 8
3^3/2 = raiz3^3 = 3raiz3
Substituindo:
43 (8 - 3raiz3)
= 323 - 4raiz3

Resposta

A integral avaliada é:
323 - 4raiz3

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