Avalie as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral definida de
de 1 a 4. Estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com técnicas de substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar usar uma substituição adequada para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observamos que temos
tanto no numerador quanto no denominador. Para facilitar, vamos fazer uma substituição.
Vamos definir:
Então, elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos substituir todas as partes da integral original com essas novas expressões em termos de
. Além disso, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição.
Quando
:
Quando
:
Substituindo na integral:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, faremos outra substituição:
Vamos definir:
Então, derivando:
Substituindo na integral:
Passo 6
A integral de
em relação a
é:
onde
é a constante de integração.
Voltando à variável original:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2 para
:
Calculando:
Passo 8
Calculando os expoentes:
Substituindo:
Resposta
A integral avaliada é: