Use a parte 1 do TFC para encontrar a derivada das funções abaixo: g(x)=integral1x^4 raiz1+1t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1, que nos ajuda a derivar integrais que têm limites dependentes da variável. Precisamos entender como aplicar a regra da cadeia nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 diz. Ele basicamente nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) , como , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que precisamos derivar os limites de integração e multiplicar pela função dentro da integral avaliada nesses limites.

Passo 3

No nosso caso, a função a'(x) = ddx( 1x ) = -1x^2 tem o limite inferior b'(x) = ddx(4) = 0 e o limite superior . Vamos identificar .
Agora, vamos calcular as derivadas dos limites:

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1:
g'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
Substituindo os valores que encontramos:
g'(x) = raiz1 + 14 cdot 0 - raiz1 + 11x cdot ( -1x^2 )
Simplificando:
g'(x) = 0 - raiz1 + x cdot ( -1x^2 ) = raiz1 + xx^2

Resposta

A derivada da função g'(x) = raiz1 + xx^2 é:

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