Use testes de convergência para decidir sobre a convergência ou divergência das séries abaixo: sumn=1^infty n2^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série converge ou diverge. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de séries infinitas, que faz parte do cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão de Convergência, que nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. No nosso caso, o termo geral é .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste diz que se o limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular an+1an = n+12^n+1n2^n = n+12^n+1 times 2^nn = n+12n :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty n+12n = limn to infty 1 + 1n2 = 1 + 02 = 12 tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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