É possível concluir que
é um anel?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é: “É possível concluir que
é um anel?”. Aqui, estamos falando sobre estruturas algébricas chamadas anéis, que fazem parte do estudo da Álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um anel e verificar se os números inteiros com as operações
e
satisfazem essas definições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações binárias que geralmente chamamos de adição
e multiplicação
. Para que um conjunto com essas operações seja considerado um anel, ele precisa satisfazer algumas propriedades específicas:
- Fechamento: A soma e o produto de dois elementos do conjunto também pertencem ao conjunto.
- Associatividade da soma e do produto: A forma como agrupamos os elementos ao somar ou multiplicar não altera o resultado.
- Elemento neutro da soma: Existe um elemento que, ao ser somado com qualquer outro elemento, não muda este elemento.
- Elemento inverso da soma: Para todo elemento, existe outro que, quando somados, resultam no elemento neutro.
- Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas por
.
Passo 3
1. Fechamento:
- Soma (
): A soma de dois inteiros é sempre um inteiro. - Produto (
): O produto de dois inteiros também é um inteiro.
Então, o fechamento está garantido.
2. Associatividade:
- Soma (
): Para quaisquer , . - Produto (
): Para quaisquer , .
Ambas as operações são associativas nos inteiros.
3. Elemento neutro da soma:
- O elemento neutro para a soma é o zero (
), pois para qualquer .
4. Elemento inverso da soma:
- Para cada inteiro
, existe o inverso , pois .
5. Distributividade:
- A multiplicação distribui sobre a adição:
e para quaisquer .
Passo 4
Além dessas propriedades, em muitos casos estudados, consideramos se o anel é comutativo (se a multiplicação também é comutativa) e se possui um elemento neutro para a multiplicação. No caso dos inteiros:
- A multiplicação é comutativa:
. - O elemento neutro para a multiplicação é o um (
), pois .
Isso nos mostra que
não só é um anel, mas um anel comutativo com identidade.
Resposta
Sim,
satisfaz todas as propriedades necessárias e, portanto, é um anel.