É possível concluir que (Z, +, *) é um anel?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é: “É possível concluir que (Z, +, *) é um anel?”. Aqui, estamos falando sobre estruturas algébricas chamadas anéis, que fazem parte do estudo da Álgebra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um anel e verificar se os números inteiros com as operações oplus e satisfazem essas definições.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é um conjunto equipado com duas operações binárias que geralmente chamamos de adição e multiplicação . Para que um conjunto com essas operações seja considerado um anel, ele precisa satisfazer algumas propriedades específicas:
  1. Fechamento: A soma e o produto de dois elementos do conjunto também pertencem ao conjunto.
  2. Associatividade da soma e do produto: A forma como agrupamos os elementos ao somar ou multiplicar não altera o resultado.
  3. Elemento neutro da soma: Existe um elemento que, ao ser somado com qualquer outro elemento, não muda este elemento.
  4. Elemento inverso da soma: Para todo elemento, existe outro que, quando somados, resultam no elemento neutro.
  5. Distributividade: A multiplicação distribui sobre a adição.
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas por (Z, +, *).

Passo 3

1. Fechamento:
  • Soma ( oplus): A soma de dois inteiros é sempre um inteiro.
  • Produto ( ): O produto de dois inteiros também é um inteiro.
Então, o fechamento está garantido.
2. Associatividade:
  • Soma ( oplus): Para quaisquer , .
  • Produto ( ): Para quaisquer , .
Ambas as operações são associativas nos inteiros.
3. Elemento neutro da soma:
  • O elemento neutro para a soma é o zero ( 0), pois para qualquer .
4. Elemento inverso da soma:
  • Para cada inteiro a, existe o inverso -a, pois .
5. Distributividade:
  • A multiplicação distribui sobre a adição: e para quaisquer .

Passo 4

Além dessas propriedades, em muitos casos estudados, consideramos se o anel é comutativo (se a multiplicação também é comutativa) e se possui um elemento neutro para a multiplicação. No caso dos inteiros:
  • A multiplicação é comutativa: .
  • O elemento neutro para a multiplicação é o um ( 1), pois .
Isso nos mostra que (Z, +, *) não só é um anel, mas um anel comutativo com identidade.

Resposta

Sim, (Z, +, *) satisfaz todas as propriedades necessárias e, portanto, é um anel.

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