Avalie as integrais fazendo-se uma substituição apropriada.
integral e^x+e^-xe^x-e^-x d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral integral e^x+e^-xe^x-e^-x,dx. O conteúdo principal aqui é substituição simples reconhecendo que o numerador é a derivada do denominador.

Passo 2

Observamos que se definirmos u = e^x - e^-x, então calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = e^x + e^-x
Isso mostra que du = (e^x + e^-x),dx. Logo, o numerador da integral original é exatamente du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral e^x+e^-xe^x-e^-x,dx = integral duu

Passo 4

A integral de 1/u em relação a u é ln|u| + C. Assim,
integral duu = ln|u| + C

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = e^x - e^-x e obtemos:
lnl|e^x - e^-xr| + C

Resposta

lnl|e^x - e^-xr| + C

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