Calcule a transformada de Laplace mathscrL(f(t)) das seguintes funções.

Passo 1

A questão pede a transformada de Laplace de uma função por partes, então vamos usar a definição mathscrLf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt e separar a integral em dois trechos onde f(t) muda.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em 0<= t<1 e t>=1:
mathscrLf(t)=integral0^1 t e^-st,dt + integral1^infty1cdot e^-st,dt

Passo 3

Agora calculamos integral0^1 t e^-st,dt por integração por partes, tomando u=t e dv=e^-stdt. Assim:
integral0^1 t e^-stdt = l[-tfractse^-str]0^1 + integral0^1 tfrac1se^-stdt
O primeiro termo dá -e^-s/s. O segundo é:
tfrac1sintegral0^1 e^-stdt = tfrac1sl[-tfrac1se^-str]0^1 = tfrac1sl(-tfrace^-ss+tfrac1sr)=tfrac1s^2-tfrace^-ss^2
Somando, obtém-se
integral0^1 t e^-stdt=tfrac1s^2-l(tfrac1s+tfrac1s^2r)e^-s=tfrac1s^2-tfracs+1s^2e^-s

Passo 4

Em seguida, calculamos integral1^inftye^-stdt. É uma integral exponencial simples:
integral1^inftye^-stdt=l[-tfrac1se^-str]1^infty=0-l(-tfrace^-ssr)=tfrace^-ss

Passo 5

Por fim, somamos os dois resultados:
mathscrLf(t)=l(tfrac1s^2-tfracs+1s^2e^-sr)+tfrace^-ss
Para simplificar, escrevemos tfrace^-ss=tfracss^2e^-s e fazemos o somatório:
mathscrLf(t)=tfrac1s^2+e^-sl(tfracss^2-tfracs+1s^2r)=tfrac1s^2-tfrace^-ss^2=tfrac1-e^-ss^2

Resposta

mathscrLf(t)=\frac{1-e{-s}}{s2})

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