Use a regra da substituição para calcular as integrais a seguir.
integral0^1 r raiz1-r^2 d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^1rraiz1-r^2,dr usando a regra da substituição. O conteúdo aqui é integração por substituição, e vamos precisar definir uma variável auxiliar para simplificar o integrando.

Passo 2

Definimos a substituição u = 1 - r^2. Derivando, temos du = -2r,dr, logo r,dr = -tfrac12,du. Precisamos também transformar os limites de integração: quando r=0, u=1; quando r=1, u=0. Assim
integral0^1rraiz1-r^2,dr = -tfrac12integralu=1^u=0u^1/2,du

Passo 3

Invertemos os limites para eliminar o sinal negativo:
-tfrac12integral1^0u^1/2,du = tfrac12integral0^1u^1/2,du

Passo 4

Agora integramos u^1/2:
integral u^1/2,du = u^3/23/2 = 23u^3/2

Passo 5

Aplicando os limites de 0 a 1:
tfrac12gl[23u^3/2gr]0^1 = tfrac12cdot23(1^3/2-0) = 13

Resposta

13

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