Avalie as integrais improprias e diga se elas são convergentes ou divergente:
integral0^1 t^2+1t^2-1 d t

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral imprópria de 0 a 1 de t^2+1t^2-1 e dizer se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é avaliação de integrais impróprias com singularidade no intervalo e vamos usar decomposição em frações parciais e análise de limites.

Passo 2

Precisamos identificar onde o integrando fica indefinido. Como t^2-1=0 em t=1, reescrevemos a integral como limite:
integral0^1t^2+1t^2-1,dt = limbto1^- integral0^bt^2+1t^2-1,dt

Passo 3

Fazendo a decomposição em frações parciais:
t^2+1t^2-1 = t^2+1(t-1)(t+1) = At-1 + Bt+1
Igualando numeradores: t^2+1 = A(t+1)+B(t-1) leva a A=tfrac12 e B=-tfrac12.

Passo 4

Integramos termo a termo:
integralt^2+1t^2-1,dt = 12integraldtt-1 - 12integraldtt+1 = 12ln|t-1| - 12ln|t+1| + CNo intervalo [0,b] (com b<1), isso fica
[12ln1-tt+1]0^b = 12ln1-b1+b - 12ln1 = 12ln1-b1+b

Passo 5

Agora analisamos o limite quando bto1^-:
limbto1^-12ln1-b1+b = 12ln0 = -inftyIsso mostra que a área cresce sem limite negativo.

Passo 6

Concluímos que a integral imprópria não converge a um valor finito, ou seja, ela é divergente.

Resposta

A integral é divergente, pois o limite do valor definido tende a -infty.

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