Avalie as integrais improprias e diga se elas são convergentes ou divergente:
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral imprópria de 0 a 1 de
e dizer se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é avaliação de integrais impróprias com singularidade no intervalo e vamos usar decomposição em frações parciais e análise de limites.
Passo 2
Precisamos identificar onde o integrando fica indefinido. Como
em
, reescrevemos a integral como limite:
Passo 3
Fazendo a decomposição em frações parciais:
Igualando numeradores:
Passo 4
Integramos termo a termo:
Passo 5
Agora analisamos o limite quando
:
Passo 6
Concluímos que a integral imprópria não converge a um valor finito, ou seja, ela é divergente.
Resposta
A integral é divergente, pois o limite do valor definido tende a
.