Questão 7. Calcule a área da superfície de revolução das curvas paramétricas a seguir em torno do eixo x.
x=3 t, y=t+2 ; 0 <= t <= 4

Passo 1

Primeiro resumimos: temos a curva parametrizada por x=3t, y=t+2 para 0≤t≤4, e queremos a área da superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo x. O conteúdo usado é área de superfície de revolução de curva paramétrica e vamos aplicar a fórmula:
S = 2pi integrala^b y(t) raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2 , dt

Passo 2

Calculamos as derivadas: dx/dt = 3 e dy/dt = 1. Assim, o termo dentro da raiz fica 3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10 e a raiz é raiz10.

Passo 3

Substituímos na fórmula para montar a integral:
S = 2pi integral0^4 (t+2) raiz10 , dt = 2pi raiz10 integral0^4 (t+2) , dt

Passo 4

Resolvemos a integral de (t+2):
integral0^4 (t+2) , dt = l[tfract^22 + 2tr]0^4 = l(8 + 8r) - 0 = 16

Passo 5

Finalmente, calculamos a área:
S = 2pi raiz10 times 16 = 32pi raiz10

Resposta

32pi raiz10

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