Calcule as seguintes integrais, usando as substituições trigonométricas indicadas:
integral x^3raizx^2+9 d x, x=3 tan (theta)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^3raizx^2+9,dx usando a substituição trigonométrica x=3tan(theta). O conteúdo aqui é integração por substituição trigonométrica; precisamos expressar dx, x^3 e raizx^2+9 em função de theta.

Passo 2

Fazendo a substituição x=3tan(theta), obtemos as seguintes expressões:
dx = 3sec^2(theta),dtheta,
x^2+9 = 9tan^2(theta)+9 = 9sec^2(theta) implies raizx^2+9 = 3sec(theta),
x^3 = 27tan^3(theta)

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral x^3raizx^2+9,dx = integral 27tan^3(theta)3sec(theta) cdot 3sec^2(theta),dtheta = 27 integral tan^3(theta)sec(theta),dtheta

Passo 4

Para resolver integral tan^3(theta)sec(theta),dtheta, usamos a identidade tan^2(theta)=sec^2(theta)-1 e fazemos u=sec(theta), de modo que du=sec(theta)tan(theta),dtheta. Assim:
tan^3(theta)sec(theta) = (sec^2(theta)-1)tan(theta)sec(theta),
27 integral (sec^2(theta)-1),(sec(theta)tan(theta),dtheta) = 27integral (u^2-1),du

Passo 5

Agora integramos em u:
27integral (u^2-1),du = 27(u^33-u) + C = 9u^3 - 27u + C

Passo 6

Por fim, voltando para x, lembrando que u=sec(theta)=tfracraizx^2+93, obtemos:
9l(tfracraizx^2+93r)^3 - 27l(tfracraizx^2+93r) + C = 13(x^2+9)^3/2 - 9raizx^2+9 + C

Resposta

13(x^2+9)^3/2 - 9raizx^2+9 + C

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