O barco A navega em linha reta na direção sul a uma velocidade constante de 16 km / h, e o barco B viaja em linha reta para o leste a uma velocidade constante de 12 km / h.
(a) A que taxa os barcos se aproximam (ou se distanciam) ao final de uma hora?
(b) E ao final de duas horas?
© Quando os barcos deixam de se aproximar, e qual a distância entre eles neste instante?

Passo 1

O enunciado quer a taxa de variação da distância entre dois barcos que se afastam em trajetórias perpendiculares: A vai para o sul a 16 km/h e B vai para o leste a 12 km/h. O conteúdo é taxas relacionadas (derivadas) e o teorema de Pitágoras: vamos precisar expressar a distância entre eles como função do tempo e depois derivar.

Passo 2

Definimos no instante t (em horas) a distância de A à origem como y(t) e a de B como x(t). Como A caminha para o sul a 16 km/h, temos
y(t)=16t
E como B caminha para o leste a 12 km/h,
x(t)=12t
A distância entre eles é d(t), dada por Pitágoras.

Passo 3

Aplicamos o teorema de Pitágoras para obter d em função de t:
d(t)=raizx(t)^2+y(t)^2=raiz(12t)^2+(16t)^2=raiz144t^2+256t^2=raiz400t^2=20t
Note que, como t≥0, escolhemos d(t)=20t.

Passo 4

Agora derivamos d(t) em relação a t para achar a taxa de variação da distância:
dddt=ddt(20t)=20(em km/h)
Isso é constante, positivo, indicando que os barcos sempre se afastam a 20 km/h.

Passo 5

(a) Em t=1 h a taxa é 20 km/h de afastamento.(b) Em t=2 h idem, 20 km/h de afastamento.© Como dd/dt>0 para todo t>0, os barcos nunca se aproximam; portanto não há instante em que parem de se aproximar.
A distância entre eles cresce linearmente como d(t)=20t. No instante t=1 h, d=20 km; em t=2 h, d=40 km; e não há ponto de virada de aproximação para afastamento, pois passam a se afastar imediatamente.

Resposta

(a) 20 km/h de afastamento;
(b) 20 km/h de afastamento;
© nunca se aproximam ( dd/dt>0 sempre); não existe instante de “parada de aproximação”.

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