O barco
navega em linha reta na direção sul a uma velocidade constante de
, e o barco
viaja em linha reta para o leste a uma velocidade constante de
.
(a) A que taxa os barcos se aproximam (ou se distanciam) ao final de uma hora?
(b) E ao final de duas horas?
© Quando os barcos deixam de se aproximar, e qual a distância entre eles neste instante?
(a) A que taxa os barcos se aproximam (ou se distanciam) ao final de uma hora?
(b) E ao final de duas horas?
© Quando os barcos deixam de se aproximar, e qual a distância entre eles neste instante?
Passo 1
O enunciado quer a taxa de variação da distância entre dois barcos que se afastam em trajetórias perpendiculares: A vai para o sul a 16 km/h e B vai para o leste a 12 km/h. O conteúdo é taxas relacionadas (derivadas) e o teorema de Pitágoras: vamos precisar expressar a distância entre eles como função do tempo e depois derivar.
Passo 2
Definimos no instante t (em horas) a distância de A à origem como y(t) e a de B como x(t). Como A caminha para o sul a 16 km/h, temos
E como B caminha para o leste a 12 km/h,
A distância entre eles é d(t), dada por Pitágoras.
Passo 3
Aplicamos o teorema de Pitágoras para obter d em função de t:
Note que, como t≥0, escolhemos d(t)=20t.
Passo 4
Agora derivamos d(t) em relação a t para achar a taxa de variação da distância:
Isso é constante, positivo, indicando que os barcos sempre se afastam a 20 km/h.
Passo 5
(a) Em t=1 h a taxa é 20 km/h de afastamento.(b) Em t=2 h idem, 20 km/h de afastamento.© Como
para todo t>0, os barcos nunca se aproximam; portanto não há instante em que parem de se aproximar.
A distância entre eles cresce linearmente como . No instante t=1 h, d=20 km; em t=2 h, d=40 km; e não há ponto de virada de aproximação para afastamento, pois passam a se afastar imediatamente.
A distância entre eles cresce linearmente como
Resposta
(a) 20 km/h de afastamento;
(b) 20 km/h de afastamento;
© nunca se aproximam ( sempre); não existe instante de “parada de aproximação”.
(b) 20 km/h de afastamento;
© nunca se aproximam (