Avalie as integrais mudando a ordem de integração de forma adequada.
integral0^1 integral0^pi integral0^pi / 4 12 rho sen^3 phi d phi d theta d rho

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral tripla em coordenadas esféricas
integral0^1integral0^piintegral0^pi/412,rho,sin^3phi,dphi,dtheta,drho
O conteúdo aqui é troca de ordem de integração e integração de funções separáveis, além de usar identidade trigonométrica e substituição para sin^3phi.

Passo 2

Como o integrando se separa em função de rho, theta e phi, podemos integrar primeiro em rho e theta:
integral0^112rho,drho;integral0^pidtheta;integral0^pi/4sin^3phi,dphi
Calculando
integral0^112rho,drho =6,
integral0^pidtheta =pi,
e o integral fica
6piintegral0^pi/4sin^3phi,dphi

Passo 3

Para integral sin^3phi,dphi, escrevemos sin^3phi=(1-cos^2phi)sinphi e usamos u=cosphi, du=-sinphi,dphi. Assim
integral0^pi/4sin^3phi,dphi = integralcos0^cos(pi/4)(u^2-1)(-du) = integral1^raiz2/2(1-u^2),du = integralraiz2/2^1(u^2-1),du
Integrando,
[u^33-u]raiz2/2^1 =l(tfrac13-1r)-l(tfrac(raiz2/2)^33-tfracraiz22r) =-tfrac23-l(tfracraiz2^324-tfracraiz22r) =-tfrac23-tfracraiz212+tfracraiz22 =-tfrac5raiz212+tfrac23

Passo 4

Multiplicando pelo fator externo 6pi, obtemos
6pil(-tfrac5raiz212+tfrac23r) =pil(4-tfrac5raiz22r) =pi,(8-5raiz2)2

Resposta

pi,(8-5raiz2)2

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