Usando coordenadas esféricas, calcular a integral f(rho, theta, phi)=1 / rho sobre a região no primeiro octante limitada pelos cones phi=pi / 4, phi=arctan 2 e a esfera rho=raiz6.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla de f(ρ,θ,φ)=1/ρ sobre a região no primeiro octante (x,y,z≥0) limitada pelos cones φ=π/4, φ=arctan 2 e pela esfera ρ=√6 usando coordenadas esféricas. Vamos precisar da expressão do elemento de volume em esféricas e dos limites: 0≤θ≤π/2, π/4≤φ≤arctan 2, 0≤ρ≤√6.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Logo o integrando f(ρ,θ,φ)·dV fica
1rhocdotrho^2sinphi=rhosinphi
e a integral I se escreve
I=integral0^pi/2!integralphi=pi/4^arctan2!integral0^raiz6rhosinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Vamos integrar primeiro em ρ, porque só depende de ρ:
integral0^raiz6rho,drho=l[rho^22r]0^raiz6=62=3
Então a integral vira
I=integral0^pi/2!integralpi/4^arctan23sinphi,dphi,dtheta

Passo 4

Agora integramos em φ:
integralpi/4^arctan2sinphi,dphi=l[-cosphir]pi/4^arctan2=-cos(arctan2)+cosl(pi4r)

Passo 5

Para calcular cos(\arctan2), fazemos um triângulo retângulo com catetos 2 (oposto) e 1 (adjacente), então a hipotenusa vale √5 e
cos(arctan2)=1raiz5, cosl(pi4r)=raiz22
Substituindo, a parte em φ dá
3l(-tfrac1raiz5+tfracraiz22r)=3l(raiz22-1raiz5r)

Passo 6

Por fim, a integral em θ é trivial, pois o integrando não depende de θ. Integramos de 0 a π/2 e multiplicamos pelo que já temos:
I=integral0^pi/23l(tfracraiz22-tfrac1raiz5r),dtheta=pi2cdot3l(raiz22-1raiz5r)

Resposta

I=3piraiz24-3pi2raiz5

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