Usando coordenadas esféricas, calcular a integral
sobre a região no primeiro octante limitada pelos cones
e a esfera
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla de f(ρ,θ,φ)=1/ρ sobre a região no primeiro octante (x,y,z≥0) limitada pelos cones φ=π/4, φ=arctan 2 e pela esfera ρ=√6 usando coordenadas esféricas. Vamos precisar da expressão do elemento de volume em esféricas e dos limites: 0≤θ≤π/2, π/4≤φ≤arctan 2, 0≤ρ≤√6.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é dado por
Logo o integrando f(ρ,θ,φ)·dV fica
e a integral I se escreve
Passo 3
Vamos integrar primeiro em ρ, porque só depende de ρ:
Então a integral vira
Passo 4
Agora integramos em φ:
Passo 5
Para calcular cos(\arctan2), fazemos um triângulo retângulo com catetos 2 (oposto) e 1 (adjacente), então a hipotenusa vale √5 e
Substituindo, a parte em φ dá
Passo 6
Por fim, a integral em θ é trivial, pois o integrando não depende de θ. Integramos de 0 a π/2 e multiplicamos pelo que já temos: