Avalie as integrais mudando a ordem de integração de forma adequada.
integralpi / 6^pi / 2 integral-pi / 2^pi / 2 integralcsc phi^2 5 rho^4 sen^3 phi d rho d theta d phi

Passo 1

A integral original está em coordenadas esféricas: integralphi=pi/6^pi/2integraltheta=-pi/2^pi/2integralrho=cscphi^25rho^4sin^3phi,drho,dtheta,dphi. Vamos usar teoria de mudança de ordem em integrais triplas e a representação da região em termos de desigualdades entre as variáveis.

Passo 2

A região E é descrita por
pi/6<= phi<= pi/2, -pi/2<= theta<= -pi/2, cscphi<= rho<= 2
Para trocar a ordem de rho e phi, observamos que rho>=cscphi equivale a sinphi>=1/rho, ou seja phi>=arcsin(1/rho). Como csc(pi/2)=1 e csc(pi/6)=2, a nova faixa de rho é de 1 a 2.

Passo 3

Podemos então escrever a integral trocando a ordem para drho,dtheta,dphi ou de forma conveniente drho,dtheta,dphi. Por exemplo:
integralrho=1^2integraltheta=-pi/2^pi/2integralphi=arcsin(1/rho)^pi/25rho^4sin^3phi,dphi,dtheta,drho

Passo 4

Agora calculamos a integral interna em phi. Usando integralsin^3phi,dphi=integralsinphi(1-cos^2phi),dphi=-cosphi+tfrac13cos^3phi, obtemos
integralarcsin(1/rho)^pi/2sin^3phi,dphi=igl[-cosphi+tfrac13cos^3phir]phi=arcsin(1/rho)^pi/2= rac13(2rho^2+1)raizrho^2-1rho^3 

Passo 5

A integral em theta é trivial e dá fator integral-pi/2^pi/2dtheta=pi. Assim a integral vira
5,piintegral1^2rho^4cdot13(2rho^2+1)raizrho^2-1rho^3,drho=5pi3integral1^2rho(2rho^2+1)raizrho^2-1,drho

Passo 6

Para a integral em rho, fazemos u=rho^2-1, du=2rho,drho. O integrando fica (2rho^2+1)rhoraizrho^2-1,drho=(2u+3)u^1/2tfracdu2. Logo
5pi3integralu=0^32u+32u^1/2,du=5pi6integral0^3(2u^3/2+3u^1/2),du =5pi6l[tfrac45u^5/2+2u^3/2r]0^3

Passo 7

Substituindo u=3 e u=0 obtemos
5pi6l(tfrac45cdot9raiz3+2cdot3raiz3r)=5pi6cdot665raiz3=11piraiz3

Passo 8

Assim o valor da integral é 11piraiz3.

Resposta

11piraiz3

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